Granica z twierdzenia o trzech funkcjach

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Granica z twierdzenia o trzech funkcjach

Post autor: 85213 » 16 gru 2018, o 14:30

Mam obliczyć granice z twierdzenia o 3 funkcjach.
Funkcja prezentuję się następująco:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to0 }x \cdot \left[ \frac{1}{x} \right]}\)

Sam robiłem to tak, że podzieliłem na dwa przypadki:
1) \(\displaystyle{ x \rightarrow 0^{+}}\)
\(\displaystyle{ x( \frac{1}{x}-1) \le x\left[ \frac{1}{x}\right] \le x \cdot \frac{1}{x}}\)
A więc granica prawostronna jest równa \(\displaystyle{ 1}\)
2)
\(\displaystyle{ x \rightarrow 0^{-}}\)
Tutaj ograniczenia będą takie same, tylko zmienią się strony, w które te nierówności są skierowane, ale tak właściwie nic to nie zmieni. Granica lewostronna też będzie równa \(\displaystyle{ 1}\).

Czy jest to dobre rozwiązanie? Czy można jakoś uprościć to używając wartości bezwzględnej, żeby nie trzeba było robić na przypadki?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2879
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 947 razy

Re: Granica z twierdzenia o trzech funkcjach

Post autor: Janusz Tracz » 16 gru 2018, o 14:42

Nie trzeba tego rozbijać na przypadki. Szacowanie \(\displaystyle{ x-1 \le\left[ x \right] \le x}\) działa zawsze więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}-1 \le \left[ \frac{1}{x} \right] \le \frac{1}{x}}\)

stąd

\(\displaystyle{ 1-x \le x \cdot \left[ \frac{1}{x} \right] \le 1}\)
i gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\) dostajemy z 3 ciągów że \(\displaystyle{ \lim_{x \to0 }x \cdot \left[ \frac{1}{x} \right] =1}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14957
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 4953 razy

Re: Granica z twierdzenia o trzech funkcjach

Post autor: Premislav » 16 gru 2018, o 14:44

Wygląda jak najbardziej OK. Ja nie widzę takiej metody uproszczenia, co nie znaczy, że ona na \(\displaystyle{ 100\%}\) nie istnieje.
Janusz Tracz, a jak pomnożysz nierówność stronami przez liczbę ujemną, to co się stanie

85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Granica z twierdzenia o trzech funkcjach

Post autor: 85213 » 16 gru 2018, o 14:52

Premislav pisze:Wygląda jak najbardziej OK. Ja nie widzę takiej metody uproszczenia, co nie znaczy, że ona na \(\displaystyle{ 100\%}\) nie istnieje.
Janusz Tracz, a jak pomnożysz nierówność stronami przez liczbę ujemną, to co się stanie
A gdyby tak nałożyć wartość bezwzględną na tą funkcję.
Czy wynikanie:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}\left| f(x)\right|=1 \Rightarrow \lim_{ x\to 0}f(x)=1}\)
jest prawdziwe?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2879
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 947 razy

Re: Granica z twierdzenia o trzech funkcjach

Post autor: Janusz Tracz » 16 gru 2018, o 14:55

Nie jest prawdziwe. Wystarczy położyć \(\displaystyle{ f=-1}\). Dzięki Premislav za tą uwagę, masz rację wydawało mi się że dam radę to uprościć.-- 16 gru 2018, o 15:57 --To znaczy chciałem to uprościć patrząc na to pod innym kątem (już nie istotne jakim, źle interpretowałem zamiary autora) ale teraz widzę że to i tak sprowadzi się do przypadku który napisałeś.

ODPOWIEDZ