Policzyć granica ciągu przez podstawienie

[Unforg1ven]

Chciałbym policzyć taką granicę, przez podstawianie
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{1+2^{x}}{x}}\)
Wiem jak to zrobić z de Hospitala, ale chciałbym się nauczyć też tej metody stąd pytanie...
Próbowałem podstawiać \(\displaystyle{ t=2^x}\) i dochodzę do
\(\displaystyle{ \lim_{ t\to \infty} \log_{t}({t+1})\ln{2}}\)
I nie wiem czy można dalej to pociągnąć, czy jest to ślepy zaułek.

[Zahion]

Jak doszedłeś do tej formy ?
Poza tym w liczniku masz funkcje wykładniczą, a w mianowniku liniową, sprawa jest dość oczywista.

[Unforg1ven]

Tak
\(\displaystyle{ t=2^x \Rightarrow x=\log_2{t}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty} \frac{\ln(1+t)}{\log_2{t}}=\frac{\log_2(1+t)} {\log_2{t}\cdot \log_2{e}}=\log_t(1+t) \ln2}\)

[Janusz Tracz]

Mocno namieszałeś. Kilka uwag:
1) Takie podstawienie nie jest konieczne, niczego nie ułatwia. To jeszcze nie błąd ale pytanie po co?
2) Skoro robisz podstawianie to musisz być konsekwentny i zmienną \(\displaystyle{ x}\) zastąpić \(\displaystyle{ t}\) wszędzie. Nie zrobiłeś tego pisząc \(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty}...}\)
3) Skoro \(\displaystyle{ t=2^x}\) to \(\displaystyle{ 1+2^x=1+t}\) a nie \(\displaystyle{ \ln(1+t)}\).
4) Gubisz granicę. Tak nie wolno.

Nie łatwiej zastosować regułę DH. Wiem, że nie jest to konieczne ale nikt nie jest w stanie zakwestionować tego że jest to wygodne rozwiązanie w tym przypadku. Więc

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{1+2^{x}}{x}= \lim_{x \to \infty }2^{x} \cdot \ln 2= \infty}\)

Jeśli bardzo nie chcesz korzystać z DH (choć nie widziałem żeby było to zabronione) to też się da, trzeba trochę oszacowywać i skorzystać z dwóch funkcji.