Udowodnić granice

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de'l Hospitala.
85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnić granice

Post autor: 85213 » 12 gru 2018, o 19:32

Muszę udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }\left( 1+ \frac{a}{x}\right) ^{x}=e^{a}}\)
Problem wynika z tego, że nie wiem co jest trywialne, a co trzeba dowodzić. Wstępnie mój dowód wyglądałby tak:
Z definicji Heinego granicy funkcji, za \(\displaystyle{ x}\) podstawiam ciąg którego granica jest równa \(\displaystyle{ \infty}\). Weźmy \(\displaystyle{ a_{n}=n}\)
I teraz teoretycznie powstaje nam definicja funkcji wykładniczej o podstawie \(\displaystyle{ e}\) i wykladniku \(\displaystyle{ a}\):
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\left( 1+ \frac{a}{n}\right) ^{n}=e^{a}}\)
Czy mogę w ten sposób zamienić \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ n}\) i czy zostawienie tego w takiej formie kończy dowód? Nie wygląda mi na to na poprawny dowód, a zależy mi na pełnej poprawności dowodu.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14364
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 4723 razy

Re: Udowodnić granice

Post autor: Premislav » 12 gru 2018, o 19:40

Tak nie możesz postąpić, gdyż w definicji Heinego jest mowa o każdym ciągu, w tym sensie, że jeśli dla każdego ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) spełniającego \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}x_n=x_0}\)
mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}f(x_n)=g}\), to
\(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0}f(x)=g}\).
Istotnie jednak ta granica ciągu i jedno klasyczne szacowanie wystarcza, by uzasadnić, że
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }\left( 1+ \frac{a}{x}\right) ^{x}=e^{a}}\)

Niech \(\displaystyle{ x\ge y>0}\) będą na tyle duże, że \(\displaystyle{ \frac{a}{y}>-1}\). Z nierówności Bernoulliego:
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac a x\right)^{\frac x y}\ge 1+\frac a x\cdot \frac x y=1+\frac a y}\)
Podnosimy stronami do potęgi \(\displaystyle{ y}\) i mamy
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac a x\right)^x\ge \left( 1+\frac a y\right)^y}\).

W związku z tym dla ustalonego \(\displaystyle{ a\in \RR}\) i dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x>0}\):
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac a {\left\lceil x\right\rceil}\right)^{\left\lceil x\right\rceil} \ge \left( 1+\frac a x\right)^x\ge \left( 1+\frac a {\left\lfloor x\right\rfloor}\right)^{\left\lfloor x\right\rfloor}}\),
czyli szacowanie z dołu i z góry przez wyrazy znanego ciągu
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac a n\right)^n\stackrel{n\to \infty}\longrightarrow e^a}\)
Z twierdzenia o trzech ciągach mamy co trzeba.
No, w zasadzie z twierdzenia o trzech funkcjach, żeby się powołać na twierdzenie o trzech ciągach, to właśnie należy zejść do dowolnego ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) dążącego do \(\displaystyle{ +\infty}\) (wtedy te podłogi i sufity są z \(\displaystyle{ x_n}\)), po czym powołać się na definicję Heinego.

85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnić granice

Post autor: 85213 » 12 gru 2018, o 19:56

Ach tak. Widziałem, że o czymś zapomniałem, ale nie mogłem sobie przypomnieć co to było.
W zamyśle miałem jeszcze udowodnienie, że funkcja ta ma granice:
Udowadniam, że \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{a}{x}\right) ^{x}}\) jest ograniczony z nierówności Bernoulliego:
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{a}{x}\right) ^{x} \le 1+n \frac{a}{x}=a+1}\)
I muszę jeszcze udowodnić, że funkcja ta jest niemalejąca. Wtedy dowód ten byłby poprawny? Jeśli funkcja ma granice, to dla każdego \(\displaystyle{ x_{n} \rightarrow x_{0}}\) granica będzie taka samo i będzie równa granicy funkcji w \(\displaystyle{ x_{0}}\). Czysto teoretycznie ten dowód byłby dobry?

Dzięki za odpowiedź, na ten dowód nigdy bym nie wpadł.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14364
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 4723 razy

Re: Udowodnić granice

Post autor: Premislav » 12 gru 2018, o 20:12

Udowadniam, że \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{a}{x}\right) ^{x}}\) jest ograniczony z nierówności Bernoulliego:
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{a}{x}\right) ^{x} \le 1+n \frac{a}{x}=a+1}\)
W jaki sposób stosujesz tutaj nierówność Bernoulliego (wygląda, jakbyś miał zły zwrot nierówności) i czym jest \(\displaystyle{ n}\)?

85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnić granice

Post autor: 85213 » 12 gru 2018, o 20:51

\(\displaystyle{ n}\) jest moim błędem, powinno być tam \(\displaystyle{ x}\). Właściwie cała ta nierówność jest jednym wielkim błędem.
W tym momencie już wiem, że powinienem sobie zrobić przerwę od matematyki, bo już nie myślę. Dzięki wielkie za pomoc.

ODPOWIEDZ