Stosowanie granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych

[Michu_99]

Potrzebuję pomocy przy obliczeniu:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to1 } \frac{ x^{\pi}- x^{e} }{x-1}}\)

Nie mam zielonego pojęcia, z której granicy wyrażenia mam skorzystać w tym przypadku

[Lorek]

Jedna możliwość, to skorzystanie z tego, że \(\displaystyle{ \frac{x^a-1}{x-1}}\) to iloraz różnicowy pewnej funkcji, a więc granica w 1 to będzie pochodna tejże funkcji w 1. A druga możliwość, to klasycznie \(\displaystyle{ x^a=e^{a\ln x}}\) i pewna znana granica z \(\displaystyle{ e}\).

[a4karo]

Albo tak: Niech \(\displaystyle{ f(x)=x^\pi-x^e}\). Wtedy na mocy twierdzenia Lagrange'a mamy
\(\displaystyle{ \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(c)=\pi c^{\pi-1}-ec^{e-1}\to \pi-e}\)