Wyznaczyć zbiór punktów ciągłości funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Wyznaczyć zbiór punktów ciągłości funkcji

Post autor: kylercopeland »

Wyznaczyć zbiór punktów ciągłości funkcji:

1) \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \arctan (x-1)+2x^2, &\left| x\right| >1\\ - \frac{ \pi }{4}, &x=0 \end{cases}}\)

2) \(\displaystyle{ f(x)=1+ \sqrt{\ln \cos (2 \pi x)}}\)
Ostatnio zmieniony 15 lis 2018, o 20:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów ciągłości funkcji

Post autor: Lorek »

Zacznij od dziedziny i potencjalnych punktów nieciągłości.
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów ciągłości funkcji

Post autor: kylercopeland »

Co do \(\displaystyle{ 1 \right)}\) to dalej nie mam pomysłu jak rozwiązać ten przeskok w dziedzinie.

W \(\displaystyle{ 2 \right)}\):

\(\displaystyle{ 0<\cos \left( 2 \pi x \right) \\
- \frac{\pi}{2}+2k \pi < 2 \pi x < \frac{\pi}{2}+2k \pi \\
-\frac{1}{4}+k< x < \frac{1}{4}+k \\
x \in \left( - \frac{1}{4}, \frac{1}{4} \right) +k, k \in \ZZ}\)
Ostatnio zmieniony 20 lis 2018, o 14:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów ciągłości funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

kylercopeland pisze:Co do \(\displaystyle{ 1 \right)}\) to dalej nie mam pomysłu jak rozwiązać ten przeskok w dziedzinie.
A ta definicja jest na pewno poprawnie zapisana?
kylercopeland pisze:\(\displaystyle{ 0<\cos \left( 2 \pi x \right)}\)
To za mało (w kwestii założeń).
kylercopeland pisze:\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{1}{4}, \frac{1}{4} \right) +k, k \in \ZZ}\)
W jaki sposób dodaje się liczbę do przedziału?

JK
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów ciągłości funkcji

Post autor: kylercopeland »

Jan Kraszewski pisze:A ta definicja jest na pewno poprawnie zapisana?
Tak jest w zbiorze, ale załóżmy że to błąd w druku i powinno być dla \(\displaystyle{ \left| x\right| > 0}\). Wtedy \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} f(x) = f(0)}\) więc funkcja będzie ciągła w R.
Jan Kraszewski pisze:To za mało (w kwestii założeń).
\(\displaystyle{ \cos(2 \pi x)=1}\)?
Jan Kraszewski pisze:W jaki sposób dodaje się liczbę do przedziału?
Taki mój skrót myślowy
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów ciągłości funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

kylercopeland pisze:\(\displaystyle{ \cos(2 \pi x)=1}\)?
A to skąd?

JK
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów ciągłości funkcji

Post autor: kylercopeland »

Pod pierwiastkiem musi być liczba nieujemna a \(\displaystyle{ \ln(x) \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów ciągłości funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

Zgadza się, ale Ty napisałeś równanie, a nie nierówność...

JK
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów ciągłości funkcji

Post autor: kylercopeland »

Bo \(\displaystyle{ \cos(2 \pi x)}\) nigdy nie jest większy od \(\displaystyle{ 1}\)?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów ciągłości funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

kylercopeland pisze:Bo \(\displaystyle{ \cos(2 \pi x)}\) nigdy nie jest większy od \(\displaystyle{ 1}\)?
A słusznie. Zwracam honor.

Masz zatem bardzo ograniczoną dziedzinę tej funkcji. Jak to wpływa na jej ciągłość?

JK
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów ciągłości funkcji

Post autor: kylercopeland »

Dobre pytanie. Dziedziną będą \(\displaystyle{ x=n}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\) i w każdym będzie taka sama wartość. Czy oznacza to że funkcja jest ciągła (dla \(\displaystyle{ x=n}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\))?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów ciągłości funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

Tak, dziedzina tej funkcji jest dyskretna, a każda funkcja określona na zbiorze dyskretnym jest ciągła.

JK
ODPOWIEDZ