Matematyka.pl

witam proszę o pomoc

ZADANIE
jakie a i b gdy

\(\displaystyle{ \lim_{x\to } (\sqrt{x^2-x+1}-ax-b)=0}\)

no i ja to zrobiłem tak ponoć źle więc proszę o wskazanaie błędu

a mianowicie

\(\displaystyle{ \lim_{x\to } (\sqrt {x^2-x+1}-ax-b)=0}\)
\(\displaystyle{ -b+\lim_{x\to } (x\sqrt {1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-ax)=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to } x(\sqrt {1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a)=b}\)

z ostatniego zapisu wynika, że
\(\displaystyle{ \lim_{x\to } (\sqrt {1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a)=0}\)
\(\displaystyle{ 1-a=0}\)
\(\displaystyle{ a=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to } (\sqrt {x^2-x+1}-x)=\lim_{x\to } \frac{x^2-x+1-x^2}{\sqrt{x^2-x+1}+x}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to } \frac{-1+\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}=-\frac{1}{2}}\)

czyli \(\displaystyle{ b=-\frac{1}{2}}\)

matekleliczek pisze: z ostatniego zapisu wynika, że

No moim zdaniem nie wynika, poza tym tam się zdaje pojawia symbol \(\displaystyle{ 0\cdot }\). W każdym razie ja bym sie pobawił sprzężeniem.

no właśnie
tam jest \(\displaystyle{ \infty }\) "coś" =pewna liczba

i gdyby tym czymś było nieskończoność to nie wyjdzie liczba w wyniku, jeśli będzie liczba to też nie wyjdzie liczba, tylko w tedy gdy będzie tam zero to w tedy wyjdzie symbol nie oznaczony czyli istnieje możliwość, że w wyniku otrzymamy liczbę.

Lepiej to zrobić tak:
dla \(\displaystyle{ a\leq 0}\) granica to \(\displaystyle{ \infty}\)
dla a>0:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-x+1}-(ax+b)=\frac{x^2-x+1-(ax+b)^2}{\sqrt{x^2-x+1}+ax+b} =\frac{x^2-x+1-a^2x^2-2abx-b^2}{\sqrt{x^2-x+1}+ax+b}= \\=\frac{x^2(1-a^2)+x(-1-2ab)+1-b^2}{\sqrt{x^2-x+1}+ax+b}}\)
I teraz żeby granica była równa 0 to oczywiści st. licznika

no fakt masz racje
a po mojemu może być czy nie bardzo ? ?

matekleliczek pisze: \(\displaystyle{ \lim_{x\to } x(\sqrt {1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a)=b}\)

z ostatniego zapisu wynika, że
\(\displaystyle{ \lim_{x\to } (\sqrt {1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-a)=0}\)

Ten fragment mi się nie podoba, choć na upartego to jest prawdziwy (chyba).