Zbadaj zbieżność ciągu

[MariaCurie]

\(\displaystyle{ \left(\frac{n!}{n!+1}\right) ^{(n+1)!}}\)

[Premislav]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \left(\frac{n!}{n!+1}\right) ^{(n+1)!}=\left[\left( 1-\frac{1}{n!+1}\right)^{n!+1}\right]^{ \frac{(n+1)!}{n!+1} }}\)
Wyrażenie w kwadratowym nawiasie jest rosnące i dąży do \(\displaystyle{ \frac 1 e<\frac 1 2}\), a można pokazać, że wykładnik na zewnątrz kwadratowego nawiasu jest nie mniejszy niż \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2}}\).

[Janusz Tracz]

trochę inaczej:    

Zauważ że

\(\displaystyle{ \left(\frac{n!}{n!+1}\right) ^{(n+1)!}=\left( \left( 1- \frac{1}{n!+1} \right) ^{n!}\right) ^{n+1}}\)

A część z \(\displaystyle{ \left( 1- \frac{1}{n!+1} \right) ^{n!} \rightarrow \frac{1}{e}}\) więc pojawi się takie \(\displaystyle{ N}\) po którym wyrażanie \(\displaystyle{ \left( 1- \frac{1}{n!+1} \right) ^{n!}=q<1}\) więc spełnione będzie też

\(\displaystyle{ 0 \le \left( \left( 1- \frac{1}{n!+1} \right) ^{n!}\right) ^{n+1} \le q^{n+1}}\)

umiesz dokończyć?

[MariaCurie]

Dziękuję bardzo za odpowiedź, czy dobrze myślę że dalej będzie tak?
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } 0=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } q ^{(n+1)} =0}\)
więc na mocy tw. o 3 ciągach
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to\infty } \left( (1- \frac{1}{n!+1} ) ^{n!} \right) ^{(n+1)} = 0}\)
Dobrze?

[Janusz Tracz]

Tak.