Jak badać ciągłość funkcji klamerkowej 2 zm. na prostej?

[k221]

Cześć, mam funkcję np:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{xy}{x-y} &\mbox{gdy }x \neq y \\ 0 &\mbox{gdy }x = y \end{cases}}\)

I mam zbadać jej ciągłość, więc dla \(\displaystyle{ x \neq y}\) jest to oczywiste ale co z punktami takimi że \(\displaystyle{ x = y}\)? Bo jak to był pojedynczy punkt to się robiło granicę np. \(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)}}\) i się porównywało ale tutaj mamy całą prostą.

[a4karo]

A jak by było
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{xa}{x-a} &\mbox{gdy }x \neq a \\ 0 &\mbox{gdy }x = a \end{cases}}\)
to byś umiał?

[k221]

Na razie wymyśliłem dwa sposoby, jeden to coś w stylu policzenia \(\displaystyle{ \lim_{x \to y}}\) (i myślę że o to ci chodziło) tylko w tym przypadku jakoś nie chce mi nic wyjść, drugi to przejście na biegunowe, wtedy dostajemy \(\displaystyle{ \lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos \phi \sin \phi}{r \cos \phi - r \sin \phi}}\) i mamy bałagan z sin i cos

[Premislav]

bzdety, nie umiem czytać poleceń:    

Ojej, a po co mieszać do tego współrzędne biegunowe.
Tak naprawdę choć trochę ciekawie jest tylko w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\),
ale ciągi \(\displaystyle{ (x_n, y_n)=\left( 0, \frac 1 n\right)}\) oraz \(\displaystyle{ (x_n, y_n)=\left( \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}\right)}\) załatwiają sprawę.
Natomiast w pozostałych punktach nie ma mowy o ciągłości, bo nawet na „oko" dla \(\displaystyle{ x_0\neq 0}\) nie istnieje granica
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y) \to (x_0, x_0)} \frac{xy}{x-y}}\),
licznik jest bowiem dodatni i nie dąży do zera, a mianownik dąży do zera i znak mianownika może sobie skakać jak Chada z okna (można to sformalizować, dobierając odpowiednie ciągi i korzystając z definicji Heinego).

[a4karo]

To nie jest funkcja dwóch zmiennych. \(\displaystyle{ y}\) jest stałą liczbą.
Wsk. Wynik będzie zależał od tego parametru.

[Premislav]

O kurde, nie wiem, dlaczego ja tam widziałem \(\displaystyle{ f(x,y)}\) Piszę całkowicie poważnie, chyba pora zacząć wierzyć w spiskową teorię dziejów. W każdym razie przepraszam za śmiecenie w takim razie.-- 31 maja 2018, o 20:27 --A, już wiem, w nazwie wątku jest funkcja 2 zmiennych. :s