Udowodnić ze granica funkcji dwóch zmiennych nie istnieje

[k221]

Cześć, mam pytanie odnośnie granicy funkcji dwóch miennych, ponieważ żeby ją policzyć możemy użyć zmiennych biegunowych i przechodzimy na funkcję z r oraz \(\displaystyle{ \phi}\) dowolnym i możemy albo dojść do wyniku albo do sytuacji typu \(\displaystyle{ ... = \lim_{r \to 0} sin(\phi)}\) i tutaj pojawia się moje pytanie czy w takiej sytuacji musimy się wracać i użyć dwfinicji Heinego - podstawić dwa ciągi, policzyć że granica jest różna czy możan podstawić za \(\displaystyle{ \phi}\) dwie wartości i pokazać że wyniki są różne, a jeżeli tak można to z czego to wynika że przy takim podstawieniu i różnych wynikach granica nie istanieje (pamiętam że było coś taiego że jeżeli granica istnieje to jest wyznaczona jednoznacznie - czy na to się powołać)?

[Benny01]

Jeśli wynik będzie zależny od kąta \(\displaystyle{ \phi}\) to granica nie istnieje.

[Janusz Tracz]

W sumie to jest definicja Heinego, ona zawsze działa wiec powołanie się na nią jest zawsze poprawne ale nie zawsze łatwe.

\(\displaystyle{ \lim_{r \to 0} \sin(\phi)=\sin(\phi)}\)

Więc ta granica istnieje problem w tym że wartość \(\displaystyle{ \sin(\phi)}\) nie jest stała. Kąt \(\displaystyle{ \phi}\) możesz interpretować jak kąt nachylenia kierunku po jakim zbliżasz się do \(\displaystyle{ \left( x_0,y_0\right)}\) i dlatego pokazanie że miana kierunku ma wpływ na wynik granicy jest równoważne z wybraniem takich ciągów \(\displaystyle{ \left( x_n,y_n\right)}\) które można puścić po tym kierunku w celu pokazania że granice są różne. Tu pojawia się wspomniane podobieństwo z def Heinego.