Udowodnić ze granica funkcji dwóch zmiennych nie istnieje

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Awatar użytkownika
k221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 23 sie 2015, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 22 razy

Udowodnić ze granica funkcji dwóch zmiennych nie istnieje

Post autor: k221 » 4 maja 2018, o 12:37

Cześć, mam pytanie odnośnie granicy funkcji dwóch miennych, ponieważ żeby ją policzyć możemy użyć zmiennych biegunowych i przechodzimy na funkcję z r oraz \(\displaystyle{ \phi}\) dowolnym i możemy albo dojść do wyniku albo do sytuacji typu \(\displaystyle{ ... = \lim_{r \to 0} sin(\phi)}\) i tutaj pojawia się moje pytanie czy w takiej sytuacji musimy się wracać i użyć dwfinicji Heinego - podstawić dwa ciągi, policzyć że granica jest różna czy możan podstawić za \(\displaystyle{ \phi}\) dwie wartości i pokazać że wyniki są różne, a jeżeli tak można to z czego to wynika że przy takim podstawieniu i różnych wynikach granica nie istanieje (pamiętam że było coś taiego że jeżeli granica istnieje to jest wyznaczona jednoznacznie - czy na to się powołać)?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1114
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Podziękował: 74 razy
Pomógł: 114 razy

Re: Udowodnić ze granica funkcji dwóch zmiennych nie istniej

Post autor: Benny01 » 4 maja 2018, o 12:41

Jeśli wynik będzie zależny od kąta \(\displaystyle{ \phi}\) to granica nie istnieje.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2505
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 67 razy
Pomógł: 771 razy

Re: Udowodnić ze granica funkcji dwóch zmiennych nie istniej

Post autor: Janusz Tracz » 4 maja 2018, o 12:59

W sumie to jest definicja Heinego, ona zawsze działa wiec powołanie się na nią jest zawsze poprawne ale nie zawsze łatwe.

\(\displaystyle{ \lim_{r \to 0} \sin(\phi)=\sin(\phi)}\)

Więc ta granica istnieje problem w tym że wartość \(\displaystyle{ \sin(\phi)}\) nie jest stała. Kąt \(\displaystyle{ \phi}\) możesz interpretować jak kąt nachylenia kierunku po jakim zbliżasz się do \(\displaystyle{ \left( x_0,y_0\right)}\) i dlatego pokazanie że miana kierunku ma wpływ na wynik granicy jest równoważne z wybraniem takich ciągów \(\displaystyle{ \left( x_n,y_n\right)}\) które można puścić po tym kierunku w celu pokazania że granice są różne. Tu pojawia się wspomniane podobieństwo z def Heinego.

ODPOWIEDZ