Granice i ciągłości funkcji

[itemiak]

Dzień dobry. Tym razem walczę z zadaniami z granic i ciągłości funkcji. Miałem problemy z paroma zadaniami dlatego chciałbym dowiedzieć się rozwiązań do nich lub chociaż wskazówek. Z góry dziękuję za wszelkie odpowiedzi.

1. Wyznacz granicę (nie korzystając z twierdzenia de l'Hospitala)

a) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 2} \frac{x ^{3} + 3x - 14}{x ^{3} - 4x ^{2} + 4x}}\) , tutaj wyszła mi \(\displaystyle{ + \infty}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } \left( \tg x - \frac{1}{\cos x} \right)}\) , tu nic mi nie wyszło niestety.

c) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 ^{+} } \frac{x + \sqrt{x} }{x - \sqrt{x} }}\) , wyszło mi \(\displaystyle{ + \infty}\)

2. Dobierz parametry \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), lub wykaż, że nie można ich dobrać tak, aby podane funkcje były ciągłe w swojej dziedzinie.

a) \(\displaystyle{ \begin{cases} a + \arctg \frac{1}{x-1} & x < 1 \\ \frac{ \pi }{2} & 1 \le x<2 \\ b + \ln(x-1) & x \ge 2\end{cases}}\) , tutaj \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) wyszły mi kolejno: \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) .

b) \(\displaystyle{ \begin{cases} \left( x+2\right) ^{4} & x < -1 \\ ax + b & -1 \le x \le 0 \\ 1 + \left( \frac{1}{2} \right) ^{ \frac{1}{x} } & x > 0 \end{cases}}\) , tutaj z kolei wyszło mi, że nie mogą być ciągłe w podanej dziedzinie.

3. Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji
a) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{\sin ^{2} x}{x ^{3} }}\) , wyszło mi, że brak asymptot.

[piasek101]

1) a) podaj skąd masz ten wynik - nie jest poprawny.

[edit] c) mam też inaczej.

b) zamień tangensa na odpowiedni iloraz, potem wszystkie funkcje potraktuj jakby były podwojonego argumentu (może zobaczysz co potem).

[SlotaWoj]

W 1a) są różne granice jednostronne, czyli granica nie istnieje. Podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ x-2}\) .
W 1c) podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) .

W 2a) \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) źle.

Ma być: \(\displaystyle{ \begin{cases}\lim\limits_{x\to1-} a+\arctg\frac{1}{x-1}=\frac{\pi}{2} \\
\lim\limits_{x\to2+} b+\ln(x-1)=\frac{\pi}{2}\end{cases}}\)

W 2b) prosta \(\displaystyle{ ax+b}\) ma przechodzić przez punkty: \(\displaystyle{ \left[-1;\lim\limits_{x\to-1-} (x+2)^4\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[0;\lim\limits_{x\to0+} 1+\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{x}\right]}\)

W 3. jest asymptota pozioma \(\displaystyle{ y=0}\) .