Matematyka.pl

Nie mogę poradzić sobie z przykładem.

Oblicz granicę (x zmierza do + nieskończoności). W liczniku x^2 - x + 1 a w mianowniku e^x.

W ogóle nie wiem jak mam się zabrać za ten przykład, bardzo proszę o rozwiązanie go, dziękuję za pomoc.


\(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2 - x + 1}{e^x}}\)

Poprawiłem zapis.
max

Proponuję regułę de Hospitala:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to } \frac{x^2-x+1}{e^x}=\lim_{x \to } \frac{2x-1}{e^x}=\lim_{x \to } \frac{2}{e^x}=0}\)

Czy możnabyłoby trochę jaśniej to napisać, bo nie wiem skąd się to wzieło. Dziękuję za odpowiedź.

Reguła do Hospitala mówi:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to } \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to } \frac{f'(x)}{g'(x)}}\)
i z tego skorzystałem.

I właśnie tego nie rozumiem jak to się zamienia . Nie rozumiem tego dlaczego nie ma w drugim równaniu +1 w liczniku i dlaczego w 3 równaniu nie ma -1, Czy może mi to ktoś wytłumaczyć ? Dziękuję za pomoc

\(\displaystyle{ (x^2-x+1)'=2x-1 \\ (2x-1)'=2}\)

Tak się liczy pochodne wielomianów.

Możesz również skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\left |\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=q \lim_{n \to } u_n=0}\) i potraktować tą funkcje jako ciąg.

setch pisze:Możesz również skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\left |\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=q \lim_{n \to } u_n=0}\) i potraktować tą funkcje jako ciąg.

Przydałoby się jeszcze uzasadnienie, dlaczego możemy potraktować tą funkcję jako ciąg... bo nie zawsze tak możemy.

W przypadku, gdy zmienna dąży do nieskonczoności to możemy.

Można jeszcze skorzystać z twierdzenia, że \(\displaystyle{ lim\frac{W(x)}{e^{x}}=0}\)

polskimisiek, czy to jest twierdzenie, to ja bym był ostrożny, chociaż to co napisałeś jest prawdą. Można to wytłumaczyć tym, że funkcja wykładnicza "szybciej rośnie" niż wielomianowa.

Lider_M pisze:

setch pisze:Możesz również skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left |\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=q}\) i potraktować tą funkcje jako ciąg.

Przydałoby się jeszcze uzasadnienie, dlaczego możemy potraktować tą funkcję jako ciąg... bo nie zawsze tak możemy.

setch pisze:W przypadku, gdy zmienna dąży do nieskończoności to możemy.

Hmm, no niekoniecznie, weźmy np \(\displaystyle{ f(x) = \sin(\pi x)}\).
Natomiast kiedy funkcja \(\displaystyle{ f: (x_{0}, +\infty)\to \mathbb{R}}\) jest przynajmniej dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x}\) monotoniczna oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}f(n) = a}\), to obierając jako ograniczenia tej funkcji funkcje \(\displaystyle{ f([x])}\) oraz \(\displaystyle{ f([x] + 1)}\) (\(\displaystyle{ [x]}\) oznacza część całkowitą z \(\displaystyle{ x}\)) i korzystając z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w nieskończoności oraz granicy ciągu i twierdzenia o trzech funkcjach możemy wykazać, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty} f(x) = a}\).
(korzystając z tego można np łatwo udowodnić twierdzenie podane przez polskiegomiśka, czy też poprawność rozumowania jakie przedstawił setch)

Twierdzenie` które podałem można po prostu udowodnić z np. de L'Hospitalka.
Korzystając z de L'Hospitala n-razy, gdzie n to stopień wielomianu, łatwo udowodnić, że granica jest w zerze

Po skorzystaniu z tego otrzymamy w końcu \(\displaystyle{ \lim{x \to \infty}\frac{a}{e^{x}}}\), gdzie a to jakaś stała