obliczenie granicy funkcji
obliczenie granicy funkcji
Nie mogę poradzić sobie z przykładem.
Oblicz granicę (x zmierza do + nieskończoności). W liczniku x^2 - x + 1 a w mianowniku e^x.
W ogóle nie wiem jak mam się zabrać za ten przykład, bardzo proszę o rozwiązanie go, dziękuję za pomoc.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2 - x + 1}{e^x}}\)
Poprawiłem zapis.
max
Oblicz granicę (x zmierza do + nieskończoności). W liczniku x^2 - x + 1 a w mianowniku e^x.
W ogóle nie wiem jak mam się zabrać za ten przykład, bardzo proszę o rozwiązanie go, dziękuję za pomoc.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2 - x + 1}{e^x}}\)
Poprawiłem zapis.
max
Ostatnio zmieniony 26 wrz 2007, o 19:38 przez miniek987, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
obliczenie granicy funkcji
Proponuję regułę de Hospitala:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to } \frac{x^2-x+1}{e^x}=\lim_{x \to } \frac{2x-1}{e^x}=\lim_{x \to } \frac{2}{e^x}=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to } \frac{x^2-x+1}{e^x}=\lim_{x \to } \frac{2x-1}{e^x}=\lim_{x \to } \frac{2}{e^x}=0}\)
obliczenie granicy funkcji
Czy możnabyłoby trochę jaśniej to napisać, bo nie wiem skąd się to wzieło. Dziękuję za odpowiedź.
-
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
obliczenie granicy funkcji
Reguła do Hospitala mówi:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to } \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to } \frac{f'(x)}{g'(x)}}\)
i z tego skorzystałem.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to } \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to } \frac{f'(x)}{g'(x)}}\)
i z tego skorzystałem.
obliczenie granicy funkcji
I właśnie tego nie rozumiem jak to się zamienia . Nie rozumiem tego dlaczego nie ma w drugim równaniu +1 w liczniku i dlaczego w 3 równaniu nie ma -1, Czy może mi to ktoś wytłumaczyć ? Dziękuję za pomoc
- setch
- Użytkownik
- Posty: 1307
- Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bełchatów
- Podziękował: 155 razy
- Pomógł: 208 razy
obliczenie granicy funkcji
Możesz również skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\left |\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=q \lim_{n \to } u_n=0}\) i potraktować tą funkcje jako ciąg.
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
obliczenie granicy funkcji
Przydałoby się jeszcze uzasadnienie, dlaczego możemy potraktować tą funkcję jako ciąg... bo nie zawsze tak możemy.setch pisze:Możesz również skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\left |\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=q \lim_{n \to } u_n=0}\) i potraktować tą funkcje jako ciąg.
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
obliczenie granicy funkcji
Można jeszcze skorzystać z twierdzenia, że \(\displaystyle{ lim\frac{W(x)}{e^{x}}=0}\)
- setch
- Użytkownik
- Posty: 1307
- Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bełchatów
- Podziękował: 155 razy
- Pomógł: 208 razy
obliczenie granicy funkcji
polskimisiek, czy to jest twierdzenie, to ja bym był ostrożny, chociaż to co napisałeś jest prawdą. Można to wytłumaczyć tym, że funkcja wykładnicza "szybciej rośnie" niż wielomianowa.
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
obliczenie granicy funkcji
Lider_M pisze:Przydałoby się jeszcze uzasadnienie, dlaczego możemy potraktować tą funkcję jako ciąg... bo nie zawsze tak możemy.setch pisze:Możesz również skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left |\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=q}\) i potraktować tą funkcje jako ciąg.
Hmm, no niekoniecznie, weźmy np \(\displaystyle{ f(x) = \sin(\pi x)}\).setch pisze:W przypadku, gdy zmienna dąży do nieskończoności to możemy.
Natomiast kiedy funkcja \(\displaystyle{ f: (x_{0}, +\infty)\to \mathbb{R}}\) jest przynajmniej dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x}\) monotoniczna oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}f(n) = a}\), to obierając jako ograniczenia tej funkcji funkcje \(\displaystyle{ f([x])}\) oraz \(\displaystyle{ f([x] + 1)}\) (\(\displaystyle{ [x]}\) oznacza część całkowitą z \(\displaystyle{ x}\)) i korzystając z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w nieskończoności oraz granicy ciągu i twierdzenia o trzech funkcjach możemy wykazać, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty} f(x) = a}\).
(korzystając z tego można np łatwo udowodnić twierdzenie podane przez polskiegomiśka, czy też poprawność rozumowania jakie przedstawił setch)
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
obliczenie granicy funkcji
Twierdzenie` które podałem można po prostu udowodnić z np. de L'Hospitalka.
Korzystając z de L'Hospitala n-razy, gdzie n to stopień wielomianu, łatwo udowodnić, że granica jest w zerze
Po skorzystaniu z tego otrzymamy w końcu \(\displaystyle{ \lim{x \to \infty}\frac{a}{e^{x}}}\), gdzie a to jakaś stała
Korzystając z de L'Hospitala n-razy, gdzie n to stopień wielomianu, łatwo udowodnić, że granica jest w zerze
Po skorzystaniu z tego otrzymamy w końcu \(\displaystyle{ \lim{x \to \infty}\frac{a}{e^{x}}}\), gdzie a to jakaś stała