Znajdź wszyskie punkty nieciągłości funkcji

[kasia778]

\(\displaystyle{ f(x)= \lim_{n \to \infty } \frac{x ^{n} }{1+x ^{n} }}\)

Zależałoby mi na dokładnym objaśnieniu doszłam do momentu:

\(\displaystyle{ \frac{x ^{n} }{1+x ^{n} } = 1 +\frac{-1}{1+x ^{n} }}\)

Rozpatrzyłam to wyrażenie odrębnie na każdym z przedziałów

1. \(\displaystyle{ x>1 \rightarrow \lim_{n \to \infty } 1 +\frac{-1}{1+x ^{n} } =1}\)

2. \(\displaystyle{ x<-1 \rightarrow \lim_{n \to \infty } 1 +\frac{-1}{1+x ^{n} } =1}\)

3. \(\displaystyle{ x\in (-1;0) \rightarrow \lim_{n \to \infty } 1 +\frac{-1}{1+x ^{n} } =0}\)

4. \(\displaystyle{ x\in (0:1) \rightarrow \lim_{n \to \infty } 1 +\frac{-1}{1+x ^{n} } =0}\)

wynika z tego że punktami nieciągłymi są \(\displaystyle{ x=1,\: x=-1}\) ,
Tylko teraz mam problem z \(\displaystyle{ 0}\) , próbuję liczyć granicę, ale dochodzę do wniosku, że ta funkcja nie jest określona w \(\displaystyle{ 0}\) , a to byłoby sprzeczne z założeniem, że \(\displaystyle{ f: \RR \mbox{ na }\RR}\) ?

[leg14]

Granica w zerze to zero przecież. Jak podstawisz zero do ciągu, którego granicy szukasz, to otrzymasz \(\displaystyle{ \frac{0}{1 + 0}}\)

[Kacperdev]

Zero problemem nie jest. Funkcja została określona \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR}\) ale jej dziedziną nie będzie \(\displaystyle{ \RR}\) .

O ile \(\displaystyle{ x_1=1}\) będzie faktycznie punktem nieciągłości to już \(\displaystyle{ x_2= -1}\) nie, bo nie należy do dziedziny.

[kasia778]

Dlaczego?

[Kacperdev]

ciąg:

\(\displaystyle{ f(-1)= \lim_{n \to \infty } \frac{(-1) ^{n} }{1+(-1) ^{n} }}\)

Mianownik troche jest tu psujem. Weź z tego ciągu wyrazy nieparzyste. Wyrażenie przestaje mieć wtedy sens.