Oblicz granicę NIE korzystając z reguły de l'Hospitala

[nicrovishion]

Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \left( \frac{1}{x} + x\arctan x - \frac{ \pi }{2} x \right)}\) NIE korzystając z reguły de l'Hospitala. Doszedłem do zapisu
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \left( \frac{1}{x} \right) + \lim_{ x\to \infty } -x\arccot x}\), i dalej nie wiem jak ruszyć.

-- 10 lis 2017, o 15:41 --

Czy mogę \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } -x\arccot x}\) zapisać jako \(\displaystyle{ \lim_{u \to 0^{+} } \left( -u \cdot \arccot u \right)}\)? Wtedy już chyba prosto wychodzi \(\displaystyle{ -1}\), ale nie wiem, czy to przejście jest w pełni poprawne.

[Premislav]

Raczej nie, choć wynik wychodzi poprawny (może lepiej byłoby, gdybyś dokładniej napisał, jak do tego doszedłeś), ale po kolei. No to tak: oczywiście najpierw (chyba też tak zrobiłeś) korzystamy z \(\displaystyle{ \arctg x+\arcctg x=\frac \pi 2}\), dochodzimy więc do
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \left( \frac 1 x-x\arcctg x\right)}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ t=\frac 1 x}\), wtedy dostajemy:
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0^+}\left( t- \frac{\arcctg\left( \frac 1 t\right) }{t} \right)}\)
Nietrudno pokazać (trygonometrią lub rachunkiem różniczkowym), że dla \(\displaystyle{ t>0}\) mamy
\(\displaystyle{ \arcctg\left( \frac 1 t\right) =\arctg t}\), czyli otrzymujemy
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0^+}\left( t- \frac{\arctg t}{t} \right)}\)
Oczywiście to pierwsze dąży do zera, natomiast to drugie do \(\displaystyle{ -1}\): dobrze znana jest granica specjalna
\(\displaystyle{ \lim_{u \to 0} \frac{\tg u}{u} =1}\), stąd też \(\displaystyle{ \lim_{u \to 0} \frac{u}{\tg u} =1}\),
teraz połóżmy \(\displaystyle{ u=\arctg t}\), wówczas oczywiście \(\displaystyle{ u \rightarrow 0}\) gdy \(\displaystyle{ t \rightarrow 0}\)…
Stąd wynikiem faktycznie jest \(\displaystyle{ -1}\), natomiast nie widzę za bardzo, jak to przekształciłeś.

[nicrovishion]

Dzięki za Twój sposób, jaśnie i przejrzyście wyjaśnione. Ja pomyślałem o podstawieniu \(\displaystyle{ x=\arccot (u)}\). Wtedy zamiast \(\displaystyle{ x}\) oczywiście pojawia się \(\displaystyle{ \arccot (u)}\) a zamiast \(\displaystyle{ \arccot (x)}\) po prostu \(\displaystyle{ u}\). Konieczna jest wtedy zmiana granicy z \(\displaystyle{ \infty}\) na \(\displaystyle{ 0}\), z lewej lub prawej strony. Dobrze myślę?

[Premislav]

Jeżeli podstawiasz \(\displaystyle{ x=\arcctg(u)}\), to powinno być \(\displaystyle{ u \rightarrow -\infty}\), a nie \(\displaystyle{ x\rightarrow 0^+}\), natomiast gdybyś podstawił (chyba taki jest zamysł - to by miało sens) \(\displaystyle{ u=\arcctg(x)}\), to dostajesz
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } x\arcctg(x)=\bigg|u=\arcctg(x)\bigg|= \lim_{u \to 0^+} u\ctg (u)=1}\)