Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f:\RR^2 \rightarrow \RR}\),\(\displaystyle{ f\left( x,y\right)=0}\) gdy \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ f\left( x,y\right)= \frac{\left| \frac{y}{x^2} \right| }{e^{\left| \frac{y}{x^2} \right| }}}\) dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\)

Znaleźć wszystkie punkty ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\).

Jak się do tego zabrać?

Rozpatrz osobno punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\) i punkty postaci \(\displaystyle{ (0,y), \ y\neq 0}\). W pozostałych nie ma problemu

No i o to mi chodziło.
Dobra to tak:
Jeśli \(\displaystyle{ x_n \rightarrow 0,y_n \rightarrow y}\) to niech \(\displaystyle{ t= \frac{y_n}{x_n^2} \rightarrow +\infty}\), gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) wówczas
\(\displaystyle{ \lim_{t \to +\infty} \frac{t}{e^t}}\) i to się równa z dh (chyba można tak?) \(\displaystyle{ \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{e^t}=0}\) zatem w punktach \(\displaystyle{ \left( 0,y\right)}\) jest ciągła. Czy uzasadnienie jest dobre?

No dobra i \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\). Weźmy ciągi \(\displaystyle{ x_n=1/n,y_n=1/(n^2)}\) wówczas:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{e^1}=1/e \neq 0}\) czyli nieciągła.

Reasumując jest wszędzie ciągła poza \(\displaystyle{ (0,0)}\) ta?

Zgadza się, poza szczegółem, że w przypadku \(\displaystyle{ x_n\rightarrow 0, \ y_n\rightarrow y, y\neq 0}\) to \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left| \frac{y_n}{x_n^2}\right| =+\infty}\), bez modułu to jeszcze zależy od znaku \(\displaystyle{ y}\) (ale rozumowania to nie zmienia, bo moduł mamy)
i poza błędem w zapisie (ale to akurat pewnie przypadkowe):

\(\displaystyle{ \lim_{t \to +\infty}= \frac{1}{e^t}}\)

No ta racja powinienem był napisać:
\(\displaystyle{ t= \left| \frac{y_n}{x_n^2}\right| \rightarrow +\infty}\), jakoś nonszalancko opuściłem ten moduł.

No i te "równa się" wkradło niepotrzebnie. Poprawiłem.

A to z reguły dh można? Bo niby mamy naturalne?

A to z reguły dh można? Bo niby mamy naturalne?

A można, jak najbardziej, jeszcze jak.
Żeby to było w pełni poprawne, należałoby się jeszcze powołać na definicję Heinego granicy funkcji (skoro dla każdego ciągu coś takiego będzie zachodzić, to oczywiście dla tego Twojego ciągu też).

-- 27 paź 2017, o 16:50 --

Ale myślę, że gdyby na trzecim semestrze napisać bez uzasadnienia, że
\(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty }\frac{t}{e^t}=0}\), to też nic by się nie stało, bo to jest znana granica,
którą się omawia na pierwszym semestrze (chociaż to zależy pewnie od prowadzącego).

Ale poczekaj wytłumacz mi to.
Bo jak mamy zwykłe \(\displaystyle{ t \in \RR}\) i \(\displaystyle{ t}\) leci po rzeczywistych to można oczywiście z dh
zrobić to:
\(\displaystyle{ \lim_{t \to +\infty} \frac{t}{e^t}=\lim_{t \to +\infty} \frac{1}{e^t}=0}\), ale tutaj przecież \(\displaystyle{ t=\left| \frac{y_n}{x_n^2}\right|}\) i to też należy do rzeczywistych, ale tak naprawdę to to jest granica:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left| \frac{y_n}{x_n^2}\right|}\), więc jakby "omijamy" niektóre punkty, a to chyba musi być ciągłe.

A mówisz o tej definicji Heinego, a no w sumie racja. Ale skąd wiesz, że dla każdego ciągu to będzie zachodzić? Bo przecież ta granica nie musi w ogóle istnieć.

No to jeszcze raz: pokazujemy z de l'Hospitala, że
\(\displaystyle{ \lim_{t \to +\infty} \frac{t}{e^t}=0}\) (jak to wyżej zrobiłeś), zaś następnie możemy skorzystać z definicji Heinego granicy funkcji:
skoro \(\displaystyle{ \lim_{t \to +\infty} \frac{t}{e^t}=0}\), to dla dowolnego ciągu \(\displaystyle{ (t_n)}\)
spełniającego \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } t_n=+\infty}\) mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{t_n}{e^{t_n}}=0}\).
W szczególności możemy wziąć
\(\displaystyle{ t_n=\left| \frac{y_n}{x_n^2} \right|}\), gdzie \(\displaystyle{ y_n \rightarrow y, \ y\neq 0}\)
oraz \(\displaystyle{ x_n\rightarrow 0, x_n\neq 0}\).

-- 29 paź 2017, o 07:36 --

Definicja Heinego jest pewną równoważnością, a my tu po policzeniu tej granicy niewłaściwej korzystamy z implikacji w jedną stronę.

No ta racja. To jest tak jakby najpierw należało policzyć granicę dla zmiennej rzeczywistej i z tego wyciągnąć wniosek dla ciągu. Ok.