Granica funkcji trygonometrycznych

[hdw3]

Witam!
Mam problem z policzeniem takiej granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } x\sin (x) + \cos (x) - 1}\)

Edit:Zastanawiam się czy poprawne jest takie rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \infty}\) dla \(\displaystyle{ \sin (x)>0}\)
\(\displaystyle{ - \infty}\) dla \(\displaystyle{ \sin (x)<0}\)
i mam problem co dla przypadku gdy \(\displaystyle{ \sin (x)=0}\), ponieważ wtedy trzeba wziąć pod uwagę \(\displaystyle{ \cos (x)}\)

[Premislav]

Ta granica nie istnieje. Rozważ ciągi \(\displaystyle{ x_n=2n\pi, y_n= \frac{\pi}{2}+2n\pi}\).
Wówczas \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }f(x_n)\neq \lim_{n \to \infty }f(y_n)}\)

[hdw3]

Rozumiem. Pojawia się jednak dla mnie kolejny problem, ponieważ prawdziwa treść tego zadania brzmiała:
"Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:" a granica którą podałem jest po prostu wynikiem całkowania. Cały czas badając zbieżność całek kierowałem się po prostu tym czy mają granice równą jakiejś liczbie czy jednak +/-\(\displaystyle{ \infty}\) i stąd moje kolejne pytanie:
Czy jak nie ma granicy to też mogę uznać, że jest rozbieżna ta całka?

[Premislav]

Zgadza się, całka jest wówczas rozbieżna.

[hdw3]

Dziękuję za pomoc