Matematyka.pl

Witam!
\(\displaystyle{ \left[0^0\right]}\) jest symbolem nieoznaczonym. Natomiast wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^x}\) w punkcie 0 wynosi 1. Można ją obliczyć z reguły del'Hospitala. Dlaczego wartość istnieje? Czy nie trzeba by najpierw wyrzucić 0 z dziedziny tej funkcji, tylko właściwie po co, jeśli wartość w tym puncie istnieje?

Ta granica (a nie wartość, bo wyrażenie \(\displaystyle{ 0^{0}}\) nie ma sensu liczbowego) istnieje tylko z prawej strony.
Ogólnie jeśli chodzi o granice z wyrażeń wykładniczo-potęgowych, w których podstawa i wykładnik dążą do zera, to mogą one przyjmować różne wartości lub w ogóle nie istnieć.
Kilka przykładów dla porównania:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to }\left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^{\frac{1}{n}}, \ \lim_{x \to 0}\left(e^{-1/|x|}\right)^{\ln (1 + |x|)}, \ \lim_{x\to -\infty} ft(e^{x}\right)^{\frac{\sin x}{-x}}}\)