Granice

[Nessie]

Mam problem z dwoma zadaniami.

1. Obliczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+25}-5}}\)

2. Uzasadnij że przy odpowiednich założeniach (jakich?) zachodzi równość:

a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to x_{0}} tg x = tg x_{0}}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to x_{0}} ctg x = ctg x_{0}}\)

Mam nadzieję, że ktoś mi tu pomoże.

[Anathemed]

Ad1) Wskazówka: skorzystaj osobno dla licznika, osobno dla mianownika ze wzoru:
\(\displaystyle{ a - b = \frac{a^2 - b^2}{a + b}}\)

[Calasilyar]

1)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+25}-5}=
\lim_{x\to 0} \frac{(\sqrt{x^2+1}-1)(\sqrt{x^2+25}+5)(\sqrt{x^2+1}+1)}{(\sqrt{x^2+25}-5)(\sqrt{x^2+25}+5)(\sqrt{x^2+1}+1)}=\\
=\lim_{x\to 0} \frac{((x^2+1)-1)(\sqrt{x^2+25}+5)}{((x^2+25)-5)(\sqrt{x^2+1}+1)}=\lim_{x\to 0} \frac{x^{2}(\sqrt{x^2+25}+5)}{x^{2}(\sqrt{x^2+1}+1)}=\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x^2+25}+5}{\sqrt{x^2+1}+1}=5}\)

[setch]

2. Na podstawie ciągłości funkcji elementarnych.

[Nessie]

2. Na podstawie ciągłości funkcji elementarnych.

ja chyba jestem blondynką bo to mi jednak nic nie mówi , no, ale dzięki za chęci

[max]

Rzeczywiście jest to bezpośredni wniosek z ciągłości odpowiednio funkcji tangens i cotangens. A dodatkowe założenia, to przynależność \(\displaystyle{ x_{0}}\) do dziedziny odpowiedniej z tych funkcji.
(proponuję przypomnieć sobie definicję ciągłości funkcji w punkcie)