Matematyka.pl

Ile wynoszą granice
1.\(\displaystyle{ \lim_{m\to } \lim_{n\to }\frac{1}{m} \ln{2}(2-\frac{1}{n(2^{\frac{1}{n}}-1)}) \frac{1+m}{2}}\)

2.\(\displaystyle{ \lim_{m\to } \lim_{n\to }(5\ln{2}(2-\frac{1}{n(2^{\frac{1}{n}}-1)}) +15+\frac{25(1+m)}{2m})}\)

Są to granice iterowane, policz najpierw granicę względem \(\displaystyle{ n}\), a potem granicę powstałej funkcji względem \(\displaystyle{ m}\).

coś mi tam wychodzi, ale chcialam sie upewnic...
Chodzi mi o 2 rzeczy:
1. Czy te granice istnieją (nie musi byc konkretny wynik)

2. I jeszcze jedno małe pytanie... czy ma to znaczenie którą najpierw liczyć - zapis sugeruje ze n - to wiem, ale czy w tym konkretnym przykladzie ma to znaczenie czy najpierw n, czy m czy jednoczesnie

Ma znaczenie, i to duże. Granice iterowane mają to do siebie że czesto wychodzą różne w zależnosci od kolejnosci liczenia, i nie ma się co tym przejmować. Policz raz w jednej kolejnosci, raz w drugiej to zobaczysz czy kolejnosc ma znaczenie; )

qaz pisze:1. Czy te granice istnieją

Tak, pierwsza wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\ln 2(2 - \log_{2}e)}\)
a druga:
\(\displaystyle{ 5\ln 2 (2 - \log_{2}e) + 15 + \frac{25}{2} =\ldots}\)

Odnośnie drugiego pytania - do tego co napisał Drizzt dodam, że granica podwójna (czyli \(\displaystyle{ \lim_{\substack{m\to a\\ n\to b}} f(m,n)}\)) to jeszcze co innego niż którakolwiek z granic iterowanych, np:
\(\displaystyle{ \lim_{\substack{x\to 0\\ y\to 0}} \frac{xy}{x - y}}\) nie istnieje, podczas gdy obie granice iterowane funkcji \(\displaystyle{ (x, y)\mapsto \frac{xy}{x - y}}\) w punkcie \(\displaystyle{ (0, 0)}\) istnieją i są sobie równe.

ok, bardzo dziękuję, wszystko się zgadza.
Ale tutaj w tym konkretnym przykładzie chyba to w jakiej kolejności sie liczy nie ma znaczenia, z tego co probowalam to liczac najpierw z n, czy najpierw z m, czy jednoczesnie to i tak wyjdzie to samo. Czy tak

Zgadza się.

thx

heh, teraz ja potrzebuje pomocy... z ciekawosci zacząlem liczyć ta granice i nie mogę sie doliczyć że \(\displaystyle{ \lim_{n \to }n(2^{\frac{1}{n}}-1)=ln2}\). Przekształciłem i z delopitala zaczałem ale wtedy mi zaczyna wychodzić nieskonczonosc...
Przepraszam że sie tak wpinam w nie swój temat ale widze że Wy ją policzyliście bez kłopotu; )

to sie sprowadza do granicy typu\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=\ln{a}}\).

No jasne! No to juz wiem co źle zrobiłem, po prostu pochodnej nie umiem liczyć, ech...
Dzięki, szkoda ze sama nie mozesz sobie dać punktu; )

eee tam, to takie małe odwdzieczenie za Twoją pomoc pozdrawiam!