granica z reguła de L'Hospitala 2

[setch]

1. \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} ft(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin ^2 x} \right)}\)
2. \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} ft(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{\sin ^3 x} \right)}\)

[mostostalek]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\sin ^2 x} \right)=\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin^{2}{x}-x^{2}}{x^{2}\sin^{2}{x}} \right)=\lim_{x \to 0} \left(\frac{2\sin{x}\cos{x}-2x}{2x^{2}\sin{x}\cos{x}+2x\sin^{2}{x}} \right)=\lim_{x \to 0} \left(\frac{\cos^{2}{x}-sin^{2}{x}-1}{-x^{2}\sin^{2}{x}+x^{2}\cos^{2}{x}+4x\sin{x}\cos{x}+sin^{2}{x}} \right)=\lim_{x \to 0} \left(\frac{-2\sin{x}\cos{x}-2\sin{x}\cos{x}}{-4x^{2}\sin{x}\cos{x}-6x\sin^{2}{x}-2x\cos^{2}{x}+6\sin{x}\cos{x}} \right)=\lim_{x \to 0} \left(\frac{-2\sin{x}\cos{x}}{-2x^{2}\sin{x}\cos{x}-3x\sin^{2}{x}-x\cos^{2}{x}+3\sin{x}\cos{x}} \right)=\lim_{x \to 0} \left(\frac{2\sin^{2}{x}-2\cos^{2}{x}}{-2x^{2}\sin^{2}{x}+4x\sin{x}\cos{x}-2x^{2}\cos^{2}{x}-3\sin^{2}{x}-6x\sin{x}\cos{x}-\cos^{2}{x}+2\sin{x}\cos{x}+3\cos^{2}{x}-3\sin^{2}{x}} \right)=\lim_{x \to 0} \left(\frac{2\sin^{2}{x}-2\cos^{2}{x}}{-2x^{2}\sin^{2}{x}-2x\sin{x}\cos{x}-2x^{2}\cos^{2}{x}-6\sin^{2}{x}+2\cos^{2}{x}+2\sin{x}\cos{x}} \right)=-1}\)


to tak po krótce pierwsze.. drugie się liczy podobnie hmm zastosowałem regułę de l'Hospitala 4-krotnie.. w równości kolejno drugiej, trzeciej, czwartej i szóstej reszta to zwykłe przekształcenia jak redukowanie wyrazów podobnych czy sprowadzanie do wspólnego mianownika.. pozdrawiam