granica funkcji z logarytmem

[alfred0]

Oblicz o ile istnieje
\(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0^+} \left[ \frac{\log x}{(1+x)^2} - \log{\left( \frac{x}{1+x} \right)} \right]}\)

[Straznik Teksasu]

\(\displaystyle{ f(x)= \left[ \frac{\log x}{(1+x)^2} - \log{\left( \frac{x}{1+x} \right)} \right]}\)

Policz granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{f(x)}}\) - granica ta powinna wynieść \(\displaystyle{ -\infty}\), a z tego będzie wynikać, że \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=0}\)

Aby uprościć obliczenia będziesz musiał później jeszcze zrobić podstawienie \(\displaystyle{ 1+x=p}\), później już z górki

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+x+to+0+%28log+x%2F%281%2Bx%29%5E2-log%28x%2F%281%2Bx%29%29%29

[Qń]

\(\displaystyle{ \left[ \frac{\log x}{(1+x)^2} - \log{\left( \frac{x}{1+x} \right)} \right]= \left[ \frac{\log x}{(1+x)^2} - \log x + \log (1+x) \right] = \\ =
\left[\log (1+x) + \log x\left( \frac{1}{(1+x)^2} - 1 \right) \right] =
\left[\log (1+x) + \log x^x \cdot \frac{x+2}{(1+x)^2} \right]}\)
i od razu widać, że granica to zero.

Q.