Oblicz o ile istnieje
\(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0^+} \left[ \frac{\log x}{(1+x)^2} - \log{\left( \frac{x}{1+x} \right)} \right]}\)
granica funkcji z logarytmem
-
- Użytkownik
- Posty: 426
- Rejestracja: 29 paź 2015, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 90 razy
granica funkcji z logarytmem
\(\displaystyle{ f(x)= \left[ \frac{\log x}{(1+x)^2} - \log{\left( \frac{x}{1+x} \right)} \right]}\)
Policz granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{f(x)}}\) - granica ta powinna wynieść \(\displaystyle{ -\infty}\), a z tego będzie wynikać, że \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=0}\)
Aby uprościć obliczenia będziesz musiał później jeszcze zrobić podstawienie \(\displaystyle{ 1+x=p}\), później już z górki
Policz granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{f(x)}}\) - granica ta powinna wynieść \(\displaystyle{ -\infty}\), a z tego będzie wynikać, że \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=0}\)
Aby uprościć obliczenia będziesz musiał później jeszcze zrobić podstawienie \(\displaystyle{ 1+x=p}\), później już z górki
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+x+to+0+%28log+x%2F%281%2Bx%29%5E2-log%28x%2F%281%2Bx%29%29%29
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
granica funkcji z logarytmem
\(\displaystyle{ \left[ \frac{\log x}{(1+x)^2} - \log{\left( \frac{x}{1+x} \right)} \right]= \left[ \frac{\log x}{(1+x)^2} - \log x + \log (1+x) \right] = \\ =
\left[\log (1+x) + \log x\left( \frac{1}{(1+x)^2} - 1 \right) \right] =
\left[\log (1+x) + \log x^x \cdot \frac{x+2}{(1+x)^2} \right]}\)
i od razu widać, że granica to zero.
Q.
\left[\log (1+x) + \log x\left( \frac{1}{(1+x)^2} - 1 \right) \right] =
\left[\log (1+x) + \log x^x \cdot \frac{x+2}{(1+x)^2} \right]}\)
i od razu widać, że granica to zero.
Q.