granice z f-cjami tryg. i pierwiastkami
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 14 lis 2004, o 13:15
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Uć
- Podziękował: 3 razy
granice z f-cjami tryg. i pierwiastkami
Witam.
mam pare pytanek..
1. jak traktowac grancie funkcji trygonometrycznych? (2.77 - 2.79 Krysicki/Wlodarski)
2. jak rozwiazac granice z pierwiastkiem.. (2.72, 2.74, 2.76 - Krysicki/Wlodarski)
3. grancia z e (2.70 - Krysicki/Wlodarski)
http://www.toya.net.pl/~naiya/matma/krys_e.jpg
Bede bardzo wdzieczna za pomoc
Pozdrawiam,
Naiya
mam pare pytanek..
1. jak traktowac grancie funkcji trygonometrycznych? (2.77 - 2.79 Krysicki/Wlodarski)
2. jak rozwiazac granice z pierwiastkiem.. (2.72, 2.74, 2.76 - Krysicki/Wlodarski)
3. grancia z e (2.70 - Krysicki/Wlodarski)
http://www.toya.net.pl/~naiya/matma/krys_e.jpg
Bede bardzo wdzieczna za pomoc
Pozdrawiam,
Naiya
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
granice z f-cjami tryg. i pierwiastkami
1)
2.77
\(\displaystyle{ u_n=\frac{1}{2n}\cos n^3-\frac{3n}{6n+1}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n}\cos n^3-\frac{3n}{6n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n^3}{2n}-\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{6n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n^3}{2n}-\frac{1}{2}}\)
Z twierdzenia o trzech ciągach mamy, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\cos n^3}{2n}=0}\)
więc
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}u_n=-\frac{1}{2}}\)
2.78
\(\displaystyle{ u_n=2^{-n}a\cos n\pi}\)
\(\displaystyle{ -a\cdot 2^{-n}\leq a\cdot 2^{-n}\cos n\pi\leq a\cdot 2^{-n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }u_n=0}\)
2.79
\(\displaystyle{ u_n=\frac{n\sin n!}{n^2+1}}\)
Z trzech ciągów mamy:
\(\displaystyle{ \frac{-n}{n^2+1}\leq \frac{n\sin n!}{n^2+1}\leq \frac{n}{n^2+1}}\)
więc
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}u_n=0}\)
Nie mam dzisiaj już siły liczyć reszty.... Jak nikt nie napisze w najbliższym czasie, to powinienem to zrobić...
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
2.77
\(\displaystyle{ u_n=\frac{1}{2n}\cos n^3-\frac{3n}{6n+1}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n}\cos n^3-\frac{3n}{6n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n^3}{2n}-\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{6n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n^3}{2n}-\frac{1}{2}}\)
Z twierdzenia o trzech ciągach mamy, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\cos n^3}{2n}=0}\)
więc
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}u_n=-\frac{1}{2}}\)
2.78
\(\displaystyle{ u_n=2^{-n}a\cos n\pi}\)
\(\displaystyle{ -a\cdot 2^{-n}\leq a\cdot 2^{-n}\cos n\pi\leq a\cdot 2^{-n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }u_n=0}\)
2.79
\(\displaystyle{ u_n=\frac{n\sin n!}{n^2+1}}\)
Z trzech ciągów mamy:
\(\displaystyle{ \frac{-n}{n^2+1}\leq \frac{n\sin n!}{n^2+1}\leq \frac{n}{n^2+1}}\)
więc
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}u_n=0}\)
Nie mam dzisiaj już siły liczyć reszty.... Jak nikt nie napisze w najbliższym czasie, to powinienem to zrobić...
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
granice z f-cjami tryg. i pierwiastkami
2.72
\(\displaystyle{ \Large\sqrt{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)} =\sqrt{\frac{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)}{n+\sqrt{n^2-1}}} = \sqrt{\frac{n\left(n^2 - n^2 + 1 \right)}{n\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)}} =\frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}\:\longrightarrow^{n\rightarrow\infty}\: \frac{1}{2}}\)
2.76
\(\displaystyle{ \Large\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}= \sqrt{\frac{n}{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}} = \sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{n}+\sqrt{\frac{1}{n^3}}}}}\: \longrightarrow^{n\rightarrow\infty}\: \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \Large\sqrt{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)} =\sqrt{\frac{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)}{n+\sqrt{n^2-1}}} = \sqrt{\frac{n\left(n^2 - n^2 + 1 \right)}{n\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)}} =\frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}\:\longrightarrow^{n\rightarrow\infty}\: \frac{1}{2}}\)
2.76
\(\displaystyle{ \Large\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}= \sqrt{\frac{n}{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}} = \sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{n}+\sqrt{\frac{1}{n^3}}}}}\: \longrightarrow^{n\rightarrow\infty}\: \frac{1}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 14 lis 2004, o 13:15
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Uć
- Podziękował: 3 razy
granice z f-cjami tryg. i pierwiastkami
AAa, dziekuje bardzo za rozw. zad. zaraz sie biore za analize tegoz
[ Dodano: Pią Lut 18, 2005 5:40 pm ]
co do 2.76 > czy nie powinno byc w drugim pieriwastku do drugiej potegi?
i cyz nie wychdozize dazy do 1/1 to jest do jednego? skada ta 2?
[ Dodano: Pią Lut 18, 2005 5:40 pm ]
co do 2.76 > czy nie powinno byc w drugim pieriwastku do drugiej potegi?
i cyz nie wychdozize dazy do 1/1 to jest do jednego? skada ta 2?
granice z f-cjami tryg. i pierwiastkami
\(\displaystyle{ \Large\frac{n}{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}=\frac{n}{n(1+\frac{1}{n}\cdot\sqrt{n+\sqrt{n}})}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}\cdot\sqrt{n+\sqrt{n}}} = \frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{n^2}(n+\sqrt{n})}} = \frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\cdot\sqrt{n}}} = \frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{n}+\sqrt{\frac{1}{n^4}\cdot n}}} = \frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{n}+\sqrt{\frac{1}{n^3}}}}}\)
W liczniku jest 1, w mianowniku 1 + 0, oczywiscie, ze 1/2 jest pomyłką, przepraszam
\(\displaystyle{ \Large\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}\: \longrightarrow^{n\rightarrow\infty}\: 1}\)
W liczniku jest 1, w mianowniku 1 + 0, oczywiscie, ze 1/2 jest pomyłką, przepraszam
\(\displaystyle{ \Large\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}\: \longrightarrow^{n\rightarrow\infty}\: 1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 14 lis 2004, o 13:15
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Uć
- Podziękował: 3 razy
granice z f-cjami tryg. i pierwiastkami
Spoko. Dziekuje bardzom bardzom, bo w koncu mi granice nie sprawiaja (niemal) w ogole problemu hihi.. w koncu
-
- Użytkownik
- Posty: 561
- Rejestracja: 6 lis 2007, o 08:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań/Kraków
- Podziękował: 25 razy
- Pomógł: 64 razy
granice z f-cjami tryg. i pierwiastkami
Powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)Yavien pisze:2.72
\(\displaystyle{ \Large\sqrt{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)} =\sqrt{\frac{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)}{n+\sqrt{n^2-1}}} = \sqrt{\frac{n\left(n^2 - n^2 + 1 \right)}{n\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)}} =\frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}\:\longrightarrow^{n\rightarrow\infty}\: \frac{1}{2}}\)
granice z f-cjami tryg. i pierwiastkami
Taki właśnie jest wynik w odpowiedziach.Charles90 pisze: Powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
Jednak w żaden sposób nie może mi wyjść taki wyniki.
Czy to aby nie jest kolejny błąd w odpowiedziach Krysickiego, czy może to ja coś źle robie?
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 13 gru 2008, o 23:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedlce
- Podziękował: 11 razy
granice z f-cjami tryg. i pierwiastkami
2.72:
mi wyszło inne rozwiązanie niż w odpowiedziach krysickiego, ale moje rozwiązanie zgadza się z mathematica:
Yavien po prostu zgubiła pierwiastek całego ułamka:
\(\displaystyle{ \Large\sqrt{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)} =\sqrt{\frac{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)}{n+\sqrt{n^2-1}}} = \sqrt{\frac{n\left(n^2 - n^2 + 1 \right)}{n\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)}} =\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}}\:\longrightarrow^{n\rightarrow\infty}\: \frac{1}{\sqrt{2}}}\)
mi wyszło inne rozwiązanie niż w odpowiedziach krysickiego, ale moje rozwiązanie zgadza się z mathematica:
Kod: Zaznacz cały
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Limit[Sqrt[n+%28n+-+Sqrt[n^2+-+1]%29]%2C+n+-%3E+[Infinity]]
\(\displaystyle{ \Large\sqrt{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)} =\sqrt{\frac{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)}{n+\sqrt{n^2-1}}} = \sqrt{\frac{n\left(n^2 - n^2 + 1 \right)}{n\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)}} =\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}}\:\longrightarrow^{n\rightarrow\infty}\: \frac{1}{\sqrt{2}}}\)
granice z f-cjami tryg. i pierwiastkami
Obie wartosci sa sobie rowne, tylko przeksztalcone
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} }}\) to dokladnie to samo co \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sqrt{2}}\)
Kto nie wierzy niech sobie przeliczy na kalkulatorze.
Tez w pierwszej chwili zastanawialem sie czemu mi inaczej wyszlo niz w odpowiedziach:)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} }}\) to dokladnie to samo co \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sqrt{2}}\)
Kto nie wierzy niech sobie przeliczy na kalkulatorze.
Tez w pierwszej chwili zastanawialem sie czemu mi inaczej wyszlo niz w odpowiedziach:)