granice z f-cjami tryg. i pierwiastkami

[Naiya]

Witam.

mam pare pytanek..
1. jak traktowac grancie funkcji trygonometrycznych? (2.77 - 2.79 Krysicki/Wlodarski)

2. jak rozwiazac granice z pierwiastkiem.. (2.72, 2.74, 2.76 - Krysicki/Wlodarski)

3. grancia z e (2.70 - Krysicki/Wlodarski)
http://www.toya.net.pl/~naiya/matma/krys_e.jpg

Bede bardzo wdzieczna za pomoc

Pozdrawiam,
Naiya

[Tomasz Rużycki]

1)

2.77

\(\displaystyle{ u_n=\frac{1}{2n}\cos n^3-\frac{3n}{6n+1}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n}\cos n^3-\frac{3n}{6n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n^3}{2n}-\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{6n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n^3}{2n}-\frac{1}{2}}\)

Z twierdzenia o trzech ciągach mamy, że:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\cos n^3}{2n}=0}\)

więc

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}u_n=-\frac{1}{2}}\)


2.78

\(\displaystyle{ u_n=2^{-n}a\cos n\pi}\)
\(\displaystyle{ -a\cdot 2^{-n}\leq a\cdot 2^{-n}\cos n\pi\leq a\cdot 2^{-n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }u_n=0}\)


2.79

\(\displaystyle{ u_n=\frac{n\sin n!}{n^2+1}}\)

Z trzech ciągów mamy:
\(\displaystyle{ \frac{-n}{n^2+1}\leq \frac{n\sin n!}{n^2+1}\leq \frac{n}{n^2+1}}\)

więc

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}u_n=0}\)

Nie mam dzisiaj już siły liczyć reszty.... Jak nikt nie napisze w najbliższym czasie, to powinienem to zrobić...

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

[Yavien]

2.72
\(\displaystyle{ \Large\sqrt{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)} =\sqrt{\frac{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)}{n+\sqrt{n^2-1}}} = \sqrt{\frac{n\left(n^2 - n^2 + 1 \right)}{n\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)}} =\frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}\:\longrightarrow^{n\rightarrow\infty}\: \frac{1}{2}}\)
2.76
\(\displaystyle{ \Large\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}= \sqrt{\frac{n}{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}} = \sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{n}+\sqrt{\frac{1}{n^3}}}}}\: \longrightarrow^{n\rightarrow\infty}\: \frac{1}{2}}\)

[Naiya]

AAa, dziekuje bardzo za rozw. zad. zaraz sie biore za analize tegoz

[ Dodano: Pią Lut 18, 2005 5:40 pm ]
co do 2.76 > czy nie powinno byc w drugim pieriwastku do drugiej potegi?
i cyz nie wychdozize dazy do 1/1 to jest do jednego? skada ta 2?

[Yavien]

\(\displaystyle{ \Large\frac{n}{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}=\frac{n}{n(1+\frac{1}{n}\cdot\sqrt{n+\sqrt{n}})}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}\cdot\sqrt{n+\sqrt{n}}} = \frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{n^2}(n+\sqrt{n})}} = \frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\cdot\sqrt{n}}} = \frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{n}+\sqrt{\frac{1}{n^4}\cdot n}}} = \frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{n}+\sqrt{\frac{1}{n^3}}}}}\)
W liczniku jest 1, w mianowniku 1 + 0, oczywiscie, ze 1/2 jest pomyłką, przepraszam

\(\displaystyle{ \Large\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}\: \longrightarrow^{n\rightarrow\infty}\: 1}\)

[Naiya]

Spoko. Dziekuje bardzom bardzom, bo w koncu mi granice nie sprawiaja (niemal) w ogole problemu hihi.. w koncu

[Charles90]

2.72
\(\displaystyle{ \Large\sqrt{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)} =\sqrt{\frac{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)}{n+\sqrt{n^2-1}}} = \sqrt{\frac{n\left(n^2 - n^2 + 1 \right)}{n\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)}} =\frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}\:\longrightarrow^{n\rightarrow\infty}\: \frac{1}{2}}\)

Powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

[-Kamil-]

Powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Taki właśnie jest wynik w odpowiedziach.
Jednak w żaden sposób nie może mi wyjść taki wyniki.
Czy to aby nie jest kolejny błąd w odpowiedziach Krysickiego, czy może to ja coś źle robie?

[gonti]

2.72:
mi wyszło inne rozwiązanie niż w odpowiedziach krysickiego, ale moje rozwiązanie zgadza się z mathematica:

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Limit[Sqrt[n+%28n+-+Sqrt[n^2+-+1]%29]%2C+n+-%3E+[Infinity]]

Yavien po prostu zgubiła pierwiastek całego ułamka:

\(\displaystyle{ \Large\sqrt{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)} =\sqrt{\frac{n\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)}{n+\sqrt{n^2-1}}} = \sqrt{\frac{n\left(n^2 - n^2 + 1 \right)}{n\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)}} =\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}}\:\longrightarrow^{n\rightarrow\infty}\: \frac{1}{\sqrt{2}}}\)

[Kaisuj]

Obie wartosci sa sobie rowne, tylko przeksztalcone

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} }}\) to dokladnie to samo co \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sqrt{2}}\)
Kto nie wierzy niech sobie przeliczy na kalkulatorze.
Tez w pierwszej chwili zastanawialem sie czemu mi inaczej wyszlo niz w odpowiedziach:)