punkty nieciągłości

[crayan4]

Znaleźć punkty nieciągłości:

\(\displaystyle{ f(x):= (2^{1/x} -1)/(2^{1/x} +1)}\)


\(\displaystyle{ g(x):= (1 - cos2x)/(x^2)}\)


proszę o pomoc...

[setch]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos 2x}{x^2}=\lim_{x \to 0^-} \frac{1-1+2\sin ^2x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2\sin ^2x}{x^2}= 2\left( \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x}\right)^2=2= \lim_{x \to 0^+} g(x)}\)
Nie jestem pewny tego przekształcenia z kwadratem, ale jeśli jest poprawne, to funkcja g(x) jest ciągła w całej swojej dziedzinie.

[max]

Niezupełnie rozumiem to zadanie, bo obie funkcje są ciągłe w swoich dziedzinach równych \(\displaystyle{ \mathbb{R} - \{0\}}\) w myśl twierdzenia o ciągłości funkcji elementarnych... chyba, że za punkt ciągłości przyjmujemy również punkt, w którym funkcja nie jest określona i nie posiada skończonej granicy, to wtedy ma sens liczenie granic obu funkcji w zerze, przy czym wynik dla funkcji \(\displaystyle{ g}\) jest podany powyżej (przekształcenia są poprawne), natomiast:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}}f(x) \stackrel{t = \frac{1}{x}}{=} \lim_{t\to +\infty}\frac{2^{t} - 1}{2^{t} + 1} = \lim_{t\to\infty}\frac{1 - \frac{1}{2^{t}}}{1 + \frac{1}{2^{t}}}= \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1\\
\lim_{x\to 0^{-}}f(x) \stackrel{t = \frac{1}{x}}{=} \lim_{t\to -\infty}\frac{2^{t} - 1}{2^{t} + 1} = \frac{0-1}{0+1} = -1}\)
więc jeśli przyjąć tę rozszerzoną definicję punktu nieciągłości, to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest nieciągła w zerze.