Granice

[dasmany]

Kolejny problem.
1.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} ft(\sqrt{x^{2}+x+1}+x\right)}\)

2.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} ft(\frac{\tan x - \sin x}{x^{3}}\right)}\)

zakładam że \(\displaystyle{ \tan}\) to tangens?

[bullay]

1.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} ft(\sqrt{x^{2}+x+1}+x\right)= \lim_{x\to -\infty} ft((\sqrt{x^{2}+x+1}+x)(\frac{\sqrt{x^{2}+x+1}-x}{\sqrt{x^{2}+x+1}-x})\right)=\lim_{x\to -\infty} ft(\frac{x^{2}+x+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x+1}-x}\right)= \lim_{x\to -\infty} ft(\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}\right)=\frac{1}{2}}\)

[setch]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} ft(x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+x\right)=
\lim_{x \to -\infty} x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1\right)=-\infty}\)

bullay, w drugiej i trzeciej równości od końca w mianowniku minus zamienil się na plus

[dasmany]

Coś się nie zgadza. Bullay dlaczego u Ciebie pod koniec w mianowniku '-' zamienia się na '+'? Wynik pierwszego przykładu to powinno być wg odpowiedzi: \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\)

Nikt nie pomoże?

[max]

setch:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}} = |x|}\)

Kontynuując rozumowanie jakie przedstawił bullay (poprawiając tego minusa w mianowniku):
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}\left(\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}\right) =\\
= \lim_{x\to -\infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x}}{-\sqrt{1 +\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}\right) =-\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} ft(\frac{\tan x - \sin x}{x^{3}}\right) = \lim_{x\to 0} ft(\frac{\sin x(1 - \cos x)}{x^{3}\cos x}\right) = \lim_{x\to 0} ft(\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1 - 1 + 2\sin^{2} \frac{x}{2}}{x^{2}}\cdot \frac{1}{\cos x}\right) =\\
=\lim_{x\to 0} ft(\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin^{2} \frac{x}{2}}{2\left(\frac{x}{2}\right)^{2}}\cdot \frac{1}{\cos x}\right) = 1\cdot \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2}}\)