Znaleźć zbiór punktów ciągłości funkcji:
\(\displaystyle{ g(x):=\begin{cases} |x|\hbox{ dla } x\in R-Q\hbox { lub } x=0\\1/q\hbox{ dla } x=p/q\hbox{ gdzie } p\in Z, q\in N- 0 \end{cases}}\)
gdzie p i q są względnie pierwsze.
Proszę o pomoc w zadaniu:D
Oraz proszę o wyjaśnienie jak się znajduje zbiór punktów ciągłości, lub nieciągłości gunkcji
zbiór ciągłości
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
zbiór ciągłości
Jedynym punktem ciągłości jest zero. Jeśli weźmiemy dowolny ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) liczb niewymiernych zbieżny do \(\displaystyle{ x}\) (i o wyrazach różnych od \(\displaystyle{ x}\)) to otrzymamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }f(a_{n}) = |x|}\)
a jeśli obierzemy dowolny ciąg liczb wymiernych \(\displaystyle{ (b_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) zbieżny do \(\displaystyle{ x}\) i o wyrazach różnych od \(\displaystyle{ x}\) to dostaniemy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } f(b_{n}) = 0}\)
gdyż jeśli \(\displaystyle{ \forall n\in \mathbb{N}\ (p_{n}\in \mathbb{Z}\wedge \ q_{n} \mathbb{N} - \{0\})}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{p_{n}}{q_{n}} x \frac{p_{n}}{q_{n}} \to x}\) to \(\displaystyle{ q_{n} \to }\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }f(a_{n}) = |x|}\)
a jeśli obierzemy dowolny ciąg liczb wymiernych \(\displaystyle{ (b_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) zbieżny do \(\displaystyle{ x}\) i o wyrazach różnych od \(\displaystyle{ x}\) to dostaniemy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } f(b_{n}) = 0}\)
gdyż jeśli \(\displaystyle{ \forall n\in \mathbb{N}\ (p_{n}\in \mathbb{Z}\wedge \ q_{n} \mathbb{N} - \{0\})}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{p_{n}}{q_{n}} x \frac{p_{n}}{q_{n}} \to x}\) to \(\displaystyle{ q_{n} \to }\)
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
zbiór ciągłości
Jeśli chodzi o prostrzą metodę to nie wiem, jeśli chodzi o obszerniejsze przedstawienie powyższej to spróbuję:
Zakładam, że znasz definicję granicy ciągu, definicję Heinego granicy funkcji w punkcie oraz definicję ciągłości funkcji w punkcie.
Jeśli mamy dany dowolny ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) liczb niewymiernych zbieżny do \(\displaystyle{ x}\) i o wyrazach różnych od tej liczby, to z definicji funkcji \(\displaystyle{ f}\) i dalej z ciągłości funkcji \(\displaystyle{ x \mapsto |x|}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }f(a_{n}) = \lim_{n\to } |a_{n}| = |x|}\)
Jeśli mamy dowolny ciąg \(\displaystyle{ (b_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) liczb wymiernych zbieżny do \(\displaystyle{ x}\) o wyrazach różnych od \(\displaystyle{ x}\), przy czym:
\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{p_{n}}{q_{n}}, \ p_{n}\in \mathbb{Z}, \ q_{n} \mathbb{N} - \{0\}, \ \mbox{NWD}\{p_{n}, q_{n}\} = 1}\), to z definicji funkcji \(\displaystyle{ f}\) mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } f(b_{n}) = \lim_{n\to } \frac{1}{q_{n}}}\)
Teraz wykażemy, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}q_{n} = +\infty}\)
Załóżmy, że pewien podciąg \(\displaystyle{ (q_{i_{n}})_{n\in \mathbb{N}}}\) ciągu \(\displaystyle{ (q_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) jest zbieżny do skończonej granicy \(\displaystyle{ g}\).
Ponieważ z założenia \(\displaystyle{ \forall n\in \mathbb{N} \ (q_{n} N - \{0\})}\), to z definicji granicy ciągu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (*)\quad \exists n_{0} \mathbb{N} \ \forall n\in\mathbb{N} \ (q_{i_{n}} = g)}\)
Rozpatrzmy analogiczny podciąg \(\displaystyle{ (b_{i_{n}})_{n\in \mathbb{N}}}\) ciągu \(\displaystyle{ (b_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\).
Przyjmijmy:
\(\displaystyle{ A = \{q_{i_{n}}\ : \ n\in \mathbb{N}\}\\
B_{q} = \{b_{i_{n}} \ : \ q_{i_{n}} = q\}, \ q A}\)
oraz niech \(\displaystyle{ s_{q}, t_{q} B_{q}}\) będą takimi liczbami, że:
\(\displaystyle{ x\in (s_{q}, t_{q})\\
\forall {b\in B_{q}} \ ft(b\not (s_{q}, t_{q})\right)}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ (*)}\) to zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony, a wraz z nim ograniczony jest zbiór \(\displaystyle{ C = \{|s_{q} - x| \ : \ q A\} \cup \{|t_{q} - x| \ : \ q A\}}\) czyli w zbiorze tym istnieje element najmniejszy \(\displaystyle{ m}\) (z określenia ciągu \(\displaystyle{ (b_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) jest on różny od zera), ponadto z definicji ciągów \(\displaystyle{ (s_{q})_{q\in A}, \ (t_{q})_{q\in A}}\) wynika, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) jest \(\displaystyle{ m < |b_{i_{n}} - n|}\) a co za tym idzie, jeśli przyjmiemy \(\displaystyle{ \varepsilon \in (0, m)}\) to bedziemy mieli dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\):
\(\displaystyle{ |b_{i_{n}} - x| > \varepsilon}\)
co, w myśl definicji granicy ciągu, jest sprzeczne z założeniem \(\displaystyle{ \lim_{n\to } b_{n} = x}\)
W związku z powyższym nie istnieje podciąg ciągu \(\displaystyle{ (q_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) zbieżny do granicy skończonej, a ponieważ elementami tego ciągu są liczby naturalne, to oznacza, że jest on rozbieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\) c.k.d.
Stąd otrzymujemy granicę ciągu \(\displaystyle{ \left(f(b_{n})\right)_{n\in \mathbb{N}}}\):
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{q_{n}} = 0}\)
Teraz wobec definicji Heinego granicy funkcji w punkcie oraz definicji ciągłości funkcji w punkcie widzimy, że funkcja jest nieciągła w każdym punkcie poza zerem, natomiast w punkcie \(\displaystyle{ x = 0}\) musi być ciągła, gdyż jak można wykazać posługując się definicją granicy ciągu, definicją Heinego granicy funkcji oraz definicją ciągłości funkcji w punkcie:
Jeśli dla dowolnego ciągu liczb niewymiernych \(\displaystyle{ (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) zbieżnego do \(\displaystyle{ x}\) i o wyrazach różnych od \(\displaystyle{ x}\) oraz dla dowolnego ciągu liczb wymiernych \(\displaystyle{ (b_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) zbieżnego do \(\displaystyle{ x}\) i o wyrazach różnych od \(\displaystyle{ x}\) jest:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } f(a_{n}) = \lim_{n\to }f(b_{n}) = f(x)}\)
to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x}\).
Zakładam, że znasz definicję granicy ciągu, definicję Heinego granicy funkcji w punkcie oraz definicję ciągłości funkcji w punkcie.
Jeśli mamy dany dowolny ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) liczb niewymiernych zbieżny do \(\displaystyle{ x}\) i o wyrazach różnych od tej liczby, to z definicji funkcji \(\displaystyle{ f}\) i dalej z ciągłości funkcji \(\displaystyle{ x \mapsto |x|}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }f(a_{n}) = \lim_{n\to } |a_{n}| = |x|}\)
Jeśli mamy dowolny ciąg \(\displaystyle{ (b_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) liczb wymiernych zbieżny do \(\displaystyle{ x}\) o wyrazach różnych od \(\displaystyle{ x}\), przy czym:
\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{p_{n}}{q_{n}}, \ p_{n}\in \mathbb{Z}, \ q_{n} \mathbb{N} - \{0\}, \ \mbox{NWD}\{p_{n}, q_{n}\} = 1}\), to z definicji funkcji \(\displaystyle{ f}\) mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } f(b_{n}) = \lim_{n\to } \frac{1}{q_{n}}}\)
Teraz wykażemy, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}q_{n} = +\infty}\)
Załóżmy, że pewien podciąg \(\displaystyle{ (q_{i_{n}})_{n\in \mathbb{N}}}\) ciągu \(\displaystyle{ (q_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) jest zbieżny do skończonej granicy \(\displaystyle{ g}\).
Ponieważ z założenia \(\displaystyle{ \forall n\in \mathbb{N} \ (q_{n} N - \{0\})}\), to z definicji granicy ciągu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (*)\quad \exists n_{0} \mathbb{N} \ \forall n\in\mathbb{N} \ (q_{i_{n}} = g)}\)
Rozpatrzmy analogiczny podciąg \(\displaystyle{ (b_{i_{n}})_{n\in \mathbb{N}}}\) ciągu \(\displaystyle{ (b_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\).
Przyjmijmy:
\(\displaystyle{ A = \{q_{i_{n}}\ : \ n\in \mathbb{N}\}\\
B_{q} = \{b_{i_{n}} \ : \ q_{i_{n}} = q\}, \ q A}\)
oraz niech \(\displaystyle{ s_{q}, t_{q} B_{q}}\) będą takimi liczbami, że:
\(\displaystyle{ x\in (s_{q}, t_{q})\\
\forall {b\in B_{q}} \ ft(b\not (s_{q}, t_{q})\right)}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ (*)}\) to zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony, a wraz z nim ograniczony jest zbiór \(\displaystyle{ C = \{|s_{q} - x| \ : \ q A\} \cup \{|t_{q} - x| \ : \ q A\}}\) czyli w zbiorze tym istnieje element najmniejszy \(\displaystyle{ m}\) (z określenia ciągu \(\displaystyle{ (b_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) jest on różny od zera), ponadto z definicji ciągów \(\displaystyle{ (s_{q})_{q\in A}, \ (t_{q})_{q\in A}}\) wynika, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) jest \(\displaystyle{ m < |b_{i_{n}} - n|}\) a co za tym idzie, jeśli przyjmiemy \(\displaystyle{ \varepsilon \in (0, m)}\) to bedziemy mieli dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\):
\(\displaystyle{ |b_{i_{n}} - x| > \varepsilon}\)
co, w myśl definicji granicy ciągu, jest sprzeczne z założeniem \(\displaystyle{ \lim_{n\to } b_{n} = x}\)
W związku z powyższym nie istnieje podciąg ciągu \(\displaystyle{ (q_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) zbieżny do granicy skończonej, a ponieważ elementami tego ciągu są liczby naturalne, to oznacza, że jest on rozbieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\) c.k.d.
Stąd otrzymujemy granicę ciągu \(\displaystyle{ \left(f(b_{n})\right)_{n\in \mathbb{N}}}\):
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{q_{n}} = 0}\)
Teraz wobec definicji Heinego granicy funkcji w punkcie oraz definicji ciągłości funkcji w punkcie widzimy, że funkcja jest nieciągła w każdym punkcie poza zerem, natomiast w punkcie \(\displaystyle{ x = 0}\) musi być ciągła, gdyż jak można wykazać posługując się definicją granicy ciągu, definicją Heinego granicy funkcji oraz definicją ciągłości funkcji w punkcie:
Jeśli dla dowolnego ciągu liczb niewymiernych \(\displaystyle{ (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) zbieżnego do \(\displaystyle{ x}\) i o wyrazach różnych od \(\displaystyle{ x}\) oraz dla dowolnego ciągu liczb wymiernych \(\displaystyle{ (b_{n})_{n\in \mathbb{N}}}\) zbieżnego do \(\displaystyle{ x}\) i o wyrazach różnych od \(\displaystyle{ x}\) jest:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } f(a_{n}) = \lim_{n\to }f(b_{n}) = f(x)}\)
to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x}\).