Strona 1 z 1
granica
: 23 sie 2007, o 19:09
autor: rafalmistrz
oblicz granice
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0^{+}} \frac{lnx}{ln(e^x -1)}}\)
Poprawiam zapis i przenoszę. Calasilyar
granica
: 23 sie 2007, o 19:21
autor: Calasilyar
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{lnx}{ln(e^{x}-1)}=^{H}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-1}{xe^{x}}=^{H}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}}{e^{x}+xe^{x}}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{1}{1+x}=1}\)
granica
: 24 sie 2007, o 18:02
autor: max
Jakby ktoś chciał bez Hospitala, to możemy użyć takowych mocy :
Dla \(\displaystyle{ a (0, 1)\cup (1, +\infty)}\) mamy na mocy ciągłości funkcji logarytmicznej, wykładniczej i sumy funkcji ciągłych:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{a^{x} - 1}{x} \stackrel{t = a^{x} - 1}{=} \lim_{t\to 0}\frac{t}{\log_{a}(t + 1)} =\lim_{t\to 0} \frac{\log_{a} e}{\frac{1}{t}\ln (1 + t)} =\\
=\lim_{t\to 0} \frac{\log_{a} e}{\ln (1 + t)^{\frac{1}{t}}} = \frac{\log_{a}e}{\ln e} = \log_{a}e}\)
W szczególności:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{e^{x} - 1}{x} = 1}\)
w związku z czym:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ln x}{\ln (e^{x} - 1)} = \lim_{x\to 0}\frac{\ln x}{\ln \frac{e^{x} - 1}{x} + \ln x} =\\
= \lim_{x\to 0}\frac{1}{\frac{\ln \frac{e^{x} - 1}{x}}{\ln x} + 1} = \frac{1}{0 + 1} = 1}\)