Wykaż, że funkcja nie ma granicy w punkcie

[liluse]

Wykaż, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 2 dla x \in \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},... \right\} \\ 1 dla x \in R \setminus \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},... \right\} \end{cases}}\) nie ma granicy w punkcie \(\displaystyle{ x_{0} = 0}\).

Wiem jak się wykazuje, że granica nie istnieje, ale do tej pory robiłam to tylko na wzorach.
Może mi ktoś podpowiedzieć od czego tu zacząć?

[Premislav]

Co mówi definicja Heinego granicy funkcji? Jeśli sobie na to odpowiesz, to weź np. ciągi
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{n}, b_{n}= \frac{\pi}{n}}\) i policz, jakie są granice tych ciągów przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) oraz granice \(\displaystyle{ f(a_{n}), f(b_{n})}\).

[liluse]

Nie rozumiem, oba te ciągi dążą do zera (co się zgadza) , ale dalej nie wiem jak wyznaczyć granice funkcji.

[Premislav]

Prosiłem, żebyś wyliczyła jeszcze \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }f(a_{n})}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } f(b_{n})}\). Oczywiście \(\displaystyle{ \frac{\pi}{n}}\) dla żadnego \(\displaystyle{ n \in \NN^{+}}\) nie będzie odwrotnością liczby naturalnej (ech, to podwójne przeczenie w języku polskim...). \(\displaystyle{ f(a_{n})}\) i \(\displaystyle{ f(b_{n})}\) są stałe (popatrz na definicję \(\displaystyle{ f}\)).

[liluse]

a czy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } f\left( a_{n} \right)}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } f\left( b_{n} \right)}\) istnieje? Mam na myśli to, że wartości to na zmianę 1 i 2, więc chyba nie dążą do niczego .

Edit:
Chyba, że bierzemy pod uwagę tylko duże n, wtedy granicą byłoby 1

[Premislav]

Raczej błąd (albo się nie rozumiemy). \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }f(a_{n})=\text{ jedyna słuszna wartość, którą f przyjmuje dla argumentów postaci 1/n }}\). Podobnie \(\displaystyle{ f(b_{n})}\) jest stałe, więc
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }f(b_{n})=...}\). Za to nie istnieje granica \(\displaystyle{ f}\) w zerze, ale to wynika z definicji Heinego granicy funkcji, a konkretnie istnienie takich ciągów, jak wskazane przeczy istnieniu granicy.

Chyba, że bierzemy pod uwagę tylko duże n, wtedy granicą byłoby \(\displaystyle{ 1}\)

Możesz wytłumaczyć, co rozumiesz przez to zdanie? W każdym prawostronnym otoczeniu zera znajdziesz liczbę postaci \(\displaystyle{ \frac 1 n}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\), a nawet nieskończenie wiele liczb tej postaci.

[a4karo]

Zadanie domowe: napisz 10 pierwszych wyrazó ciągu \(\displaystyle{ f(a_n)}\) i wywnioskuj, czy będzie on zbieżny. Potem zrób to samo z ciągiem \(\displaystyle{ f(b_n)}\)

[liluse]

Raczej błąd (albo się nie rozumiemy). \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }f(a_{n})=\text{ jedyna słuszna wartość, którą f przyjmuje dla argumentów postaci 1/n }}\). Podobnie \(\displaystyle{ f(b_{n})}\) jest stałe, więc
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }f(b_{n})=...}\). Za to nie istnieje granica \(\displaystyle{ f}\) w zerze, ale to wynika z definicji Heinego granicy funkcji, a konkretnie istnienie takich ciągów, jak wskazane przeczy istnieniu granicy.

Możesz napisać to samo tylko mniej "matematycznie'? Tzn. nie do końca rozumiem o co tu chodzi, dopiero dziś zaczęliśmy granice funkcji.

Chyba, że bierzemy pod uwagę tylko duże n, wtedy granicą byłoby 1

Miałam na myśli, to ,że skoro n dąży do nieskończoności, to interesują nas bardzo duże wartości, funkcja przyjmuje wartość 1 tylko dla przedziału (0,1>

[Premislav]

No to na wstępie przeczytaj

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Granica_funkcji

a jeszcze lepiej weź porządną książkę (np. Fichtenholza, Lei albo co) i tam przeczytaj. Albo zerknij do notatek, jeśli je masz. Czy znasz definicję granicy funkcji wg Heinego?
Rozwiązanie tu proponowane polega na tym, że bierzemy dwa ciągi argumentów zbieżne do zera, dla których \(\displaystyle{ f}\) ma różne granice - przeczy to zatem warunkowi Heinego istnienia granicy funkcji.
Tj. pokazujemy, że dowolnie blisko zera znajdziemy punkty, w których funkcja przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\), a także punkty, w których przyjmuje ona wartość \(\displaystyle{ 2}\). No to granica nie istnieje.

Miałam na myśli, to ,że skoro n dąży do nieskończoności, to interesują nas bardzo duże wartości, funkcja przyjmuje wartość 1 tylko dla przedziału (0,1>

Niestety mylisz chyba zmienność \(\displaystyle{ x}\) jako argumentu funkcji \(\displaystyle{ f}\) ze zmiennością \(\displaystyle{ n}\) jako indeksu ciągu \(\displaystyle{ (a_{n}),}\) będącego pewnym szczególnym ciągiem argumentów funkcji \(\displaystyle{ f.}\). Nic to, że \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\), skoro nie rozważasz \(\displaystyle{ f(n)}\), tylko \(\displaystyle{ f(a_{n})}\). A akurat, jak sama pisałaś, \(\displaystyle{ a_{n}}\) zbiega do zera.

[liluse]

Definicje znam, korzystaliśmy z tego na lekcji. To, że trzeba udowodnić, że blisko zera znajdą się dwie różne wartości też wiem, to również robiliśmy dla lekcji.

Rzecz w tym, że podstawialiśmy \(\displaystyle{ a_{n}}\) w miejsce x to wzoru funkcji, a tutaj nie mam gdzie tego wsadzić.

Mam potraktować wzór funkcji jako dwa osobne wzory i do jednego podstawić \(\displaystyle{ a_{n}}\), a do drugiego \(\displaystyle{ b_{n}}\) ?

[M Ciesielski]

No tak. Ile wynosi \(\displaystyle{ f(a_1)}\) a ile \(\displaystyle{ f(b_1)}\)? Podpowiem, że kolejne pytanie będzie o wartość \(\displaystyle{ f(a_2)}\) i \(\displaystyle{ f(b_2)}\).

[liluse]

No tak. Ile wynosi \(\displaystyle{ f(a_1)}\) a ile \(\displaystyle{ f(b_1)}\)? Podpowiem, że kolejne pytanie będzie o wartość \(\displaystyle{ f(a_2)}\) i \(\displaystyle{ f(b_2)}\).

\(\displaystyle{ f(a_1)}\) = 2
\(\displaystyle{ f(b_1)}\) = 1

Jeżeli dobrze to zrozumiałam

[M Ciesielski]

Dokładnie, a co z \(\displaystyle{ f(a_2)}\) i \(\displaystyle{ f(b_2)}\)? I w końcu co z \(\displaystyle{ f(a_n)}\) i \(\displaystyle{ f(b_n)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)?

[liluse]

Będą takie same, więc granice też będą różne

[M Ciesielski]

Jeżeli chodzi Ci o to, że \(\displaystyle{ f(a_n) = 2}\) i \(\displaystyle{ f(b_n) = 1}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), więc \(\displaystyle{ 2 = \lim_{n\to\infty} f(a_n) \neq \lim_{n\to\infty} f(b_n) = 1}\), to ok.