Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} x \sin \frac{\pi}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{x \sin \frac{\pi}{x}\cdot\frac{\pi}{x}}{\frac{\pi}{x}}=\pi}\)
W odpowiedziach jest 0.

Nieco przekombinowałeś, przecież \(\displaystyle{ \tfrac{\pi}{x}}\) nie dąży wcale do zera...
Wystarczy skorzystać z definicji granicy,
albo z tw o trzech funkcjach i z faktu, iż:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to x_{0}}|f(x)| = 0\iff \lim_{x\to x_{0}}f(x) = 0}\)

Czyli?
\(\displaystyle{ g(x)=-x \quad h(x)=x\\
g(x) q f(x)\leq h(x)\\
ft( \lim_{x \to 0} g(x)=0 \lim_{x \to 0} h(x)=0 \right) \lim_{x \to 0}f(x)=0}\)

Raczej miałem na myśli:
\(\displaystyle{ 0 qslant |x\sin \tfrac{\pi}{x}| qslant |x|\\
\lim_{x\to 0}|x\sin \tfrac{\pi}{x}| = 0\\
\lim_{x\to 0}x\sin \tfrac{\pi}{x} = 0}\)

(Zauważ, że \(\displaystyle{ x}\) zbiega do zera z obu stron, zatem niekoniecznie musi być \(\displaystyle{ -x < x}\))

Albo z definicji, przy dowolnym ustalonym \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) nierówność:
\(\displaystyle{ |x\sin \tfrac{\pi}{x}|< \varepsilon}\)
zachodzi jeśli tylko przyjmiemy, że \(\displaystyle{ |x| < \delta = \varepsilon}\)