Matematyka.pl

Zbadaj ciągłość funkcji
a) \(\displaystyle{ f(x)=x-[x]}\)
b) \(\displaystyle{ f(x)=[x]+[-x]}\)

Dla każdego \(\displaystyle{ k\in \mathbb{Z}}\) jest
\(\displaystyle{ \big(x [k, k+1)\big) \big([x] = k\big)}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ ig(x (k, k+ 1]ig) ig(-x [-k - 1, -k)ig)}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \big(x (k, k+ 1]\big) \big([-x] = -k - 1\big)}\)

a) Ponieważ dla każdego \(\displaystyle{ k\in \mathbb{Z}}\) mamy:
\(\displaystyle{ \big(x (k, k + 1)\big) \big(f(x) = x - k\big)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \big(x = k\big)\Rightarrow \big(f(x) = k - k = 0\big)}\) to funkcja ma nieciągłość lewostronną (granica lewostronna jest różna od wartości funkcji będącej równej granicy prawostronnej) w każdym punkcie \(\displaystyle{ x = k}\), gdzie \(\displaystyle{ k \mathbb{Z}}\).
W pozostałych punktach dziedziny funkcja jest ciągła.

b) Dla każdego \(\displaystyle{ k\in \mathbb{Z}}\) mamy:
\(\displaystyle{ \big(x (k, k + 1)\big) \big(f(x) = k - k - 1 = -1\big)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \big(x = k\big) \big(f(x) = k - k = 0\big)}\)
to funkcja ma nieciągłość obustronną w każdym punkcie \(\displaystyle{ x = k}\), gdzie \(\displaystyle{ k \mathbb{Z}}\).
W pozostałych punktach dziedziny funkcja jest ciągła.