Oblicz granice funkcji

[Salvaro]

Mam do zrobienia kilka przykładów, wiele z nich udało mi się już skończyć ale te 3 sprawiają mi trudności. Tak więc:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1} \frac{2x^2-2x}{arcsin(x-1)}}\)

Oblicz granice jednostronne:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^(^+^,^-^)} \frac{x^3+x+1}{\left| x-1\right| }}\)

Tutaj nie wiem tylko, czy dobrze bo rozwiązanie zajmuje 1 linijkę (dalej sprawdzam granice jednostronną):
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} e^{- \frac{1}{x} } = \begin{cases}\lim_{ x\to 0^+} e^{- \frac{1}{x}= - \infty } \\ \lim_{ x\to 0^-} e^{- \frac{1}{x} }= \infty \end{cases}}\)

[Lbubsazob]

1) \(\displaystyle{ \frac{2x^2-2x}{\arcsin(x-1)}= \frac{2x(x-1)}{\arcsin(x-1)}}\)
Podstaw \(\displaystyle{ t=x-1}\) i korzystasz z granicy \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}=1}\).

2) Rozbij to na 2 przypadki (wartość bezwzględna) i oblicz granice jednostronne.

3) \(\displaystyle{ e^{-\infty}}\) dąży do zera, \(\displaystyle{ e^\infty}\) do nieskończoności.

[Salvaro]

W pierwszym dostałem
\(\displaystyle{ \lim_{t \to o} \frac{2t(t+1)}{arcsin(t)}}\)
i teraz moje pytanie, mogę od razu zastosować granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{arcsin(x)}{x}=1 ?}\) wtedy całość równa się 2

W drugim wiem, że należy to rozbić ale nie potrafię obliczyć granicy \(\displaystyle{ \lim_{x \to1^+ } \frac{x^3+x+1}{x-1}}\) chyba, że skoro to rozbijam na \(\displaystyle{ 1^+;1^-}\) to mogę powiedzieć, że mianownik dąży do \(\displaystyle{ \infty}\) więc całość do 0

I jeszcze taki mały problem, \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{2x}}\)
wiem, że podstawiam \(\displaystyle{ t=e^x-1}\) dostaje \(\displaystyle{ x=\ln (t+1)}\)
moje równanie wygląda tak \(\displaystyle{ \lim_{t \to0 } \frac{t}{2\ln(t+1)}}\) i nie wiem co dalej

[Lbubsazob]

1) Dokładnie o to chodzi.

2) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1^+ } \frac{x^3+x+1}{x-1}=\left[ \frac{3}{0^+} \right]=+\infty}\)

4) Skorzystaj z granicy specjalnej \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{e^x-1}{x}=1}\), masz ją udowodnioną tutaj (przykład 6).