udowodnij subaddytywność funkcji

[niebieska_biedronka]

Niech \(\displaystyle{ f:mathbb{R}^N
ightarrow mathbb{R}, m_f : mathbb{R}^N
ightarrow [-infty, infty)}\)i \(\displaystyle{ M_f : \mathbb{R}^N \rightarrow (-\infty, \infty]}\) są określone następująco:
\(\displaystyle{ m_f = \lim_{r \rightarrow 0^+} \inf_{y \in K(x,r)} f(y)}\)
\(\displaystyle{ M_f = \lim_{r \rightarrow 0^+} \sup_{y \in K(x,r)} f(y)}\)

Tw. Niech \(\displaystyle{ f}\) zdefiniowana jak wyżej będzie funkcją subaddytywną. Wtedy \(\displaystyle{ m_f}\) i \(\displaystyle{ M_f}\) też są subaddytywne.

Dysponuję dowodem dla \(\displaystyle{ m_f}\), i na tej podstawie mam udowodnić dla \(\displaystyle{ M_f}\). Niby proste, ale coś nie gra...
Poniżej dowód subaddytywności \(\displaystyle{ m_f}\)
Ustalamy \(\displaystyle{ r>0}\), bierzemy dowolne \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}^N, a,b \in \mathbb{R}}\) takie, że
\(\displaystyle{ a> \inf_{K(x,r)} f, \quad b>\inf_{K(y,r)} f.}\)

Wtedy istnieje \(\displaystyle{ u \in K(x,r)}\) i \(\displaystyle{ v \in K(y,r)}\) takie, że
\(\displaystyle{ a>f(u) \ge \inf_{K(x,r)} f, \quad b>f(v) \ge \inf_{K(y,r)} f}\).

Mamy \(\displaystyle{ u+v \in K(x+y, 2r)}\), zatem
\(\displaystyle{ \inf_{K(x+y,2r)} f \le f(u+v) \le f(u)+f(v) < a+b}\).

Kiedy \(\displaystyle{ a \rightarrow\inf_{K(x,r)}}\) i \(\displaystyle{ b \rightarrow\inf_{K(y,r)}}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ \inf_{K(x+y,2r)} \le \inf_{K(x,r)} f + \inf_{K(y,r)} f}\).
Niech \(\displaystyle{ r \rightarrow 0}\), wtedy otrzymujemy
\(\displaystyle{ m_f(x+y) \le m_f(x) + m_f(y)}\).
Koniec dowodu.

Problem, który napotkałam przy udowadnianiu tego dla \(\displaystyle{ M_f}\) polega na tym, że dostaję dwa ograniczenia z góry na \(\displaystyle{ f(u+v)}\) - jedno przez \(\displaystyle{ \sup_{K(x,r)} f + \sup_{K(y,r)} f}\), a drugie przez \(\displaystyle{ \sup_{K(x+y,2r)} f}\) - to drugie w przypadku infimum było ograniczeniem z dołu, więc nierówności ładnie się układały, a tu mi czegoś brakuje... ktoś, coś?

[Medea 2]

Nie możesz skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \sup X = - \inf - X}\)?

[niebieska_biedronka]

pewnie mogę, ale chyba nie widzę co mi to da