\(\displaystyle{ a+b = 1, a,b \in \RR}\)
Czy granica \(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to(a,b) } \frac{y \cdot \sin(\pi \cdot x)}{x+y-1}}\) istnieje?
Jesli \(\displaystyle{ a \neg \in \ZZ}\)
1.\(\displaystyle{ x_n= + \frac{1}{n} , y_n = 1-a + \frac{1}{n}}\) a
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to(a,b) } \frac{y \cdot \sin(\pi \cdot x)}{x+y-1}=\lim_{ n\to0 } \frac{(1-a + \frac{1}{n}) \cdot \sin(\pi \cdot (a + \frac{1}{n}))}{ \frac{2}{n} }= \frac{+}{-} \infty}\)
Ale dla
\(\displaystyle{ x_n= a - \frac{1}{n} , y_n = 1-a - \frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to(a,b) } \frac{y \cdot \sin(\pi \cdot x)}{x+y-1}=\lim_{ n\to0 } \frac{(1-a - \frac{1}{n}) \cdot \sin(\pi \cdot (a - \frac{1}{n}))}{ -\frac{2}{n} }=\frac{-}{+}\infty}\)
Zatem w tym wypadku granica nie istnieje.
Jesli \(\displaystyle{ a \in \ZZ}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to(a,b) } \frac{y \cdot \sin(\pi \cdot x)}{x+y-1}=\lim_{ (x,y)\to(a,b) } \frac{y \cdot \sin(\pi \cdot x)}{x+y-1}\cdot \frac{\pi \cdot x-\pi a}{\pi \cdot x-\pi a} =C \cdot \lim_{ (x,y)\to(a,b) } \frac{y }{x+y-1}\cdot ( x- a)}\)
Gdzie \(\displaystyle{ C}\) to pewna stala rozna od zera
\(\displaystyle{ x_n= a + \frac{1}{n} , y_n = 1-a + \frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ C \cdot \lim_{ (x,y)\to(a,b) } \frac{y }{x+y-1}\cdot \pi \cdot x-\pi a=C \cdot \lim_{ n\to0} \frac{1-a + \frac{1}{n} }{ \frac{2}{n} }\cdot ( \frac{1}{n})=C(1-a)( \frac{1}{2})}\)
Ale jesli \(\displaystyle{ x_n= a + \frac{1}{n} , y_n = 1-a + \frac{1}{n^2}}\)
\(\displaystyle{ C \cdot \lim_{ (x,y)\to(a,b) } \frac{y }{x+y-1}\cdot \pi \cdot x-\pi a=C \cdot \lim_{ n\to0} \frac{1-a + \frac{1}{n^2} }{ \frac{1+n}{n^2} }\cdot ( \frac{1}{n})=C(1-a)}\)
A wiec i w tym wypadku granica nie istnieje.Czy moje rozwiazanie jest poprawne?CO jesli w 1. wziac \(\displaystyle{ x_n= a- \frac{1}{n} , y_n = 1-a + \frac{1}{n}}\) Wtedy mamy zero w mianowniku
Z gory dziekuje za wszystkie odpowiedzi.