twierdzenie prawdziwe?

bob1000 · Post autor: **bob1000** » 5 paź 2015, o 16:59

\(\displaystyle{ b_n-a_n \rightarrow 0}\) implikuje \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} b_n=\lim_{ n\to \infty} a_n}\)? Założenie wystarczające?

Althorion · Post autor: **Althorion** » 5 paź 2015, o 17:36

Nie. Rozważ na przykład \(\displaystyle{ a_n = b_n = \sin (n)}\). Natomiast faktycznie, jeśli oba ciągi miałyby jakąś granicę, to ich granice musiałyby być sobie równe.

EDYCJA:
Poprawiłem. Pierwotnie było \(\displaystyle{ \sin (x)}\).

a4karo · Post autor: **a4karo** » 5 paź 2015, o 21:20

Przykład jest trochę nieszczęśliwy, bo oba te ciągi akurat maja granicę (bo są stałe), ale idea słuszna: wziąc dwa takie same ciągi, które nie maja granicy.

bob1000 · Post autor: **bob1000** » 7 paź 2015, o 14:02

Znacie jakieś inne przykłady? Bo to, że są takie same i nie mają granicy to jest dość trywialne. Czy może jest to jedyna opcja?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 7 paź 2015, o 14:06

bob1000 pisze:Znacie jakieś inne przykłady? Bo to, że są takie same i nie mają granicy to jest dość trywialne. Czy może jest to jedyna opcja?

Ale pokazują, że twierdzenie jest nieprawdziwe i tyle nam wystarczy

bob1000 · Post autor: **bob1000** » 7 paź 2015, o 14:10

Racja, tylko z ciekawości spytałem.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 7 paź 2015, o 14:36

Wystarczy zaburzyć jeden z nich przez dodanie ciągu zbieżnego do zera, np. weźmy
\(\displaystyle{ a_{n}=\sin(n)+ \frac{1}{n}, b_{n}=\sin(n)}\)
Na mniej trywialny przykład nie mam pomysłu.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 7 paź 2015, o 17:25

Aby stwierdzenie było prawdziwe wystarczy (i potrzeba) założyć, że jeden z tych ciągów ma granicę.

bob1000 · Post autor: **bob1000** » 7 paź 2015, o 17:42

Jeżeli jeden z nich będzie dążył do zera a drugi nie ma granicy np. \(\displaystyle{ \sin(n)-\frac{1}{n}}\) to jak to mam interpretować?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 7 paź 2015, o 17:44

a4karo pisze:Aby stwierdzenie było prawdziwe wystarczy (i potrzeba) założyć, że jeden z tych ciągów ma granicę.

No to zrób szybki dowodzik, żeby już nikt kontrprzykładów nie szukał

bob1000 · Post autor: **bob1000** » 7 paź 2015, o 17:48

tak. dowód prosze

-- 7 paź 2015, o 16:54 --

a4karo pisze:Aby stwierdzenie było prawdziwe wystarczy (i potrzeba) założyć, że jeden z tych ciągów ma granicę.

Ale...\(\displaystyle{ b_n-a_n=\sin(n)-\frac{1}{n}=\frac{n\sin(n)-1}{n}}\) no i to granicy nie ma. Zatem nie wystarczy, że jeden ma granicę.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 7 paź 2015, o 17:56

Jeżeli istnieje granica \(\displaystyle{ \lim a_n}\), to
\(\displaystyle{ \lim b_n=\lim (a_n+(b_n-a_n)=\lim a_n+ \lim (b_n-a_n)=\lim a_n}\)

W druga stronę, aby teza miała sens, to granice musza istniec...

bob1000 · Post autor: **bob1000** » 7 paź 2015, o 18:16

a4karo pisze:Jeżeli istnieje granica \(\displaystyle{ \lim a_n}\), to
\(\displaystyle{ \lim b_n=\lim (a_n+(b_n-a_n)=\lim a_n+ \lim (b_n-a_n)=\lim a_n}\)

W druga stronę, aby teza miała sens, to granice musza istniec...

\(\displaystyle{ \lim a_n+ \lim (b_n-a_n)=\lim a_n}\). Jednak czegoś nie rozumiem. Dlaczego \(\displaystyle{ \lim (b_n-a_n)=0}\)? Przecież o \(\displaystyle{ b_n}\) nic nie wiemy. A jak \(\displaystyle{ b_n}\) granicy nie ma to co wtedy z \(\displaystyle{ \lim (b_n-a_n)}\)?

Prosze o wyjaśnienie.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 7 paź 2015, o 18:21

OK, przeczytaj to od prawej do lewej

A \(\displaystyle{ \lim (b_n-a_n)=0}\) bo masz to w założeniu.

bob1000 · Post autor: **bob1000** » 7 paź 2015, o 18:23

hehe. Zapomnialem o założeniu, że \(\displaystyle{ \lim (b_n-a_n) \rightarrow 0}\)

Dzięki-- 7 paź 2015, o 17:58 --Temat ten założyłem, bo zastanawiałem się nad twierdzeniem
\(\displaystyle{ \left(\forall n \left[ a_{n+1} \ge a_n \wedge b_{n+1} \le b_n\right] \right) \wedge \left( b_n-a_n \rightarrow 0\right) \Rightarrow \left( \lim_{ n\to \infty} b_n=\lim_{ n\to \infty} a_n\right)}\)

i próbowałem wyeliminować pierwsze założenie. Nie trzeba do założeń dodać ograniczoności obydwu ciągów?