Witam
Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak krok po kroku wykonywać przykłady w których należ zbadać zbieżność szeregu. Co skąd się wzięło i dlaczego. W taki sposób hmm łopatologiczny.
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{n3^n}{(n+1)6^{n+1}}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{n3^{2n}}{(3n-1)4^{n+1}}}\)
Wiem, że z kryterium cauchy'ego, ale mi chodzi raczej o sposób, w którym należy podstawić za \(\displaystyle{ n}\) wyrażenie \(\displaystyle{ n+1}\)
Czy mógłby mi ktoś to pokazać na jednym z podanych przeze mnie przykładów. Tak krok po kroku. Bardzo mi na tym zależy.
Zbieżność szeregu - wytłumaczenie
-
piotrekq94
- Użytkownik
- Posty: 122
- Rejestracja: 17 lis 2011, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
Zbieżność szeregu - wytłumaczenie
Ostatnio zmieniony 26 wrz 2015, o 16:00 przez piotrekq94, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Igor V
- Użytkownik
- Posty: 1605
- Rejestracja: 16 lut 2011, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 604 razy
Zbieżność szeregu - wytłumaczenie
Czyli chodzi Ci o kryterium d'Alemberta.Musisz policzyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a _{n+1} }{a_n}}\).
Biorąc pierwszy przykład :
\(\displaystyle{ a_n=\frac{n3^n}{(n+1)6^{n+1}}}\)
I teraz podstawiasz w miejsce \(\displaystyle{ n:=n+1}\)
\(\displaystyle{ a _{n+1}=\frac{(n+1)3^{n+1} }{(n+1+1)6^{n+1+1}}=\frac{(n+1)3^{n+1} }{(n+2)6^{n+2}}}\)
Dzielisz i liczysz granicę.
PS popraw zapis szeregu
Biorąc pierwszy przykład :
\(\displaystyle{ a_n=\frac{n3^n}{(n+1)6^{n+1}}}\)
I teraz podstawiasz w miejsce \(\displaystyle{ n:=n+1}\)
\(\displaystyle{ a _{n+1}=\frac{(n+1)3^{n+1} }{(n+1+1)6^{n+1+1}}=\frac{(n+1)3^{n+1} }{(n+2)6^{n+2}}}\)
Dzielisz i liczysz granicę.
PS popraw zapis szeregu
-
piotrekq94
- Użytkownik
- Posty: 122
- Rejestracja: 17 lis 2011, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
Zbieżność szeregu - wytłumaczenie
Oto mi chodziło.
Tylko zależy mi na tym aby ktoś pokazał mi na jednym przykładzie jak to zrobić od samego początku do do samego końca.
Tylko zależy mi na tym aby ktoś pokazał mi na jednym przykładzie jak to zrobić od samego początku do do samego końca.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Zbieżność szeregu - wytłumaczenie
To ja Ci pokażę na innym przykładzie, a Ty zrobisz to samo ze "swoimi", OK?
Weźmy np. szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n\cdot 5^{2n}}{(2n+5)\cdot 10^{n+1}}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ a_{n}= \frac{n\cdot 5^{2n}}{(2n+5)\cdot 10^{n+1}}}\) i mamy \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)\cdot 5^{2n+2}}{(2n+7)\cdot 10^{n+2}} \cdot \frac{(2n+5)\cdot 10^{n+1}}{n\cdot 5^{2n}}}\) (bo podzielić to pomnożyć przez odwrotność)
a dalej skracając (wiedza z gimnazjum, jak nie z podstawówki, więc chyba nie trzeba się nad tym dłużej rozwodzić) otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=25 \cdot \frac{(n+1)(2n+5)}{n(2n+7)}=25 \cdot \frac{\left(1+ \frac{1}{n} \right)\left(2+ \frac{5}{n} \right)}{\left(2+ \frac{7}{n} \right)}}\) - podzieliłem licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n^{2}}\), a więc \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=25>1}\), czyli z kryterium d'Alemberta szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n\cdot 5^{2n}}{(2n+5)\cdot 10^{n+1}}}\) jest rozbieżny (oczywiście nie jest spełniony nawet warunek konieczny zbieżności, ale zrobiłem tak by zilustrować metodę).
Aha, pamiętaj, żeby kryterium d'Alemberta nie stosować do szeregów, których wyrazy mają różne znaki (chyba że do ciągu \(\displaystyle{ \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right|}\) - lecz wtedy badasz zbieżność bezwzględną, a istnieją szeregi zbieżne, które nie są zbieżne bezwzględnie).
Weźmy np. szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n\cdot 5^{2n}}{(2n+5)\cdot 10^{n+1}}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ a_{n}= \frac{n\cdot 5^{2n}}{(2n+5)\cdot 10^{n+1}}}\) i mamy \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)\cdot 5^{2n+2}}{(2n+7)\cdot 10^{n+2}} \cdot \frac{(2n+5)\cdot 10^{n+1}}{n\cdot 5^{2n}}}\) (bo podzielić to pomnożyć przez odwrotność)
a dalej skracając (wiedza z gimnazjum, jak nie z podstawówki, więc chyba nie trzeba się nad tym dłużej rozwodzić) otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=25 \cdot \frac{(n+1)(2n+5)}{n(2n+7)}=25 \cdot \frac{\left(1+ \frac{1}{n} \right)\left(2+ \frac{5}{n} \right)}{\left(2+ \frac{7}{n} \right)}}\) - podzieliłem licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n^{2}}\), a więc \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=25>1}\), czyli z kryterium d'Alemberta szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n\cdot 5^{2n}}{(2n+5)\cdot 10^{n+1}}}\) jest rozbieżny (oczywiście nie jest spełniony nawet warunek konieczny zbieżności, ale zrobiłem tak by zilustrować metodę).
Aha, pamiętaj, żeby kryterium d'Alemberta nie stosować do szeregów, których wyrazy mają różne znaki (chyba że do ciągu \(\displaystyle{ \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right|}\) - lecz wtedy badasz zbieżność bezwzględną, a istnieją szeregi zbieżne, które nie są zbieżne bezwzględnie).