Próbuję obliczyć dwie granice:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y,z)\to\left(0,0,0\right)} \left( \frac{2x^{2}ycosz}{x^{2}+y^{2}} \right)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\left(0,0\right)} \left( \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \right)}\)
Prosiłbym o jakieś „życiowe” wskazówki (rozwiązania), gdyż już długo się nad tym głowię.
Granica funkcji wielu zmiennych
- Igor V
- Użytkownik
- Posty: 1605
- Rejestracja: 16 lut 2011, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 604 razy
Granica funkcji wielu zmiennych
1.Granica nie istnieje.Policz jakieś przykładowe granice iterowane i pokaż że wychodzą różne ,albo znajdź jakieś podciągi żeby pokazać że nie działa.
2.Warto przejść na współrzędne biegunowe.Bardzo dużo to uprości.
2.Warto przejść na współrzędne biegunowe.Bardzo dużo to uprości.
- Barbara777
- Użytkownik
- Posty: 316
- Rejestracja: 13 maja 2013, o 18:28
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gówniak k. Bukowiny
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 115 razy
Granica funkcji wielu zmiennych
Druga granica jest rowna zero.
\(\displaystyle{ 0\leq \Big|\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}\Big|\leq \frac{|x|^3}{x^2+y^2}+\frac{|y|^3}{x^2+y^2}\leq\frac{|x|^3}{x^2}+\frac{|y|^3}{y^2}=|x|+|y|}\)
a ostatnie wyrazenie dazy do zera gdy \(\displaystyle{ (x,y)\to(0,0)}\)
\(\displaystyle{ 0\leq \Big|\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}\Big|\leq \frac{|x|^3}{x^2+y^2}+\frac{|y|^3}{x^2+y^2}\leq\frac{|x|^3}{x^2}+\frac{|y|^3}{y^2}=|x|+|y|}\)
a ostatnie wyrazenie dazy do zera gdy \(\displaystyle{ (x,y)\to(0,0)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 518
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 17:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kluczewsko
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 67 razy
Granica funkcji wielu zmiennych
\(\displaystyle{ a) \left| \frac{2x^{2}ycosz}{x^{2}+y^{2}} \right| \le \left| \frac{2x^{2}ycosz}{2xy}\right|}\)
\(\displaystyle{ b)\left| \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \right| = \left| \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x^2+y^2}\right|=\left| x-y\right|\cdot \left| 1+\frac{xy}{x^2+y^2}\right| \le \frac{3}{2}\left| x-y\right|}\)
edit?
Czemu w pierwszym nie będzie,jak wstawimy walcowe to tez wychodzi zero?
\(\displaystyle{ b)\left| \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} \right| = \left| \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x^2+y^2}\right|=\left| x-y\right|\cdot \left| 1+\frac{xy}{x^2+y^2}\right| \le \frac{3}{2}\left| x-y\right|}\)
edit?
Czemu w pierwszym nie będzie,jak wstawimy walcowe to tez wychodzi zero?
- Barbara777
- Użytkownik
- Posty: 316
- Rejestracja: 13 maja 2013, o 18:28
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gówniak k. Bukowiny
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 115 razy
Granica funkcji wielu zmiennych
Pierwsza tez zero:
\(\displaystyle{ 0\leq\Big|\frac{2x^2y\cos z}{x^2+y^2}\Big|\leq 2\frac{|x|^2|y|}{x^2+y^2}\leq 2\frac{|x|^2|y|}{x^2}=2|y|}\)
dazy o zera jak zloto, co jest ladnym przykladem na to, ze wolfram omylnym jest ))))
\(\displaystyle{ 0\leq\Big|\frac{2x^2y\cos z}{x^2+y^2}\Big|\leq 2\frac{|x|^2|y|}{x^2+y^2}\leq 2\frac{|x|^2|y|}{x^2}=2|y|}\)
dazy o zera jak zloto, co jest ladnym przykladem na to, ze wolfram omylnym jest ))))
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 21 gru 2014, o 11:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
Granica funkcji wielu zmiennych
Pozwolę sobie odświeżyć nieco temat. W jednym z opracowań do analizy matematycznej znalazłem taką granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{4}}=0}\)
Długo myślałem, jak się za to zabrać – twierdzenie o trzech ciągach chyba odpada, bo mamy \(\displaystyle{ x}\) w nieparzystej potędze, „domnożyć” coś też nie bardzo się da... to może współrzędne biegunowe?
Niech \(\displaystyle{ y^{2}=t, t \ge 0}\)
\(\displaystyle{ t = rsin \alpha}\)
\(\displaystyle{ x = rcos \alpha}\)
I wtedy...
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{4}}=\lim_{r \to 0} \frac{r^{3}cos^{3}\alpha}{r^{2}}=\lim_{r \to 0} rcos^{3}\alpha=0}\)
Czy taki zapis jest legalny, tzn. podstawienie \(\displaystyle{ y^{2}=t}\)? Wtedy \(\displaystyle{ sin\alpha \ge 0}\), zatem \(\displaystyle{ \alpha \in [0,\frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]}\)... i to już mi się średnio podoba.
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{4}}=0}\)
Długo myślałem, jak się za to zabrać – twierdzenie o trzech ciągach chyba odpada, bo mamy \(\displaystyle{ x}\) w nieparzystej potędze, „domnożyć” coś też nie bardzo się da... to może współrzędne biegunowe?
Niech \(\displaystyle{ y^{2}=t, t \ge 0}\)
\(\displaystyle{ t = rsin \alpha}\)
\(\displaystyle{ x = rcos \alpha}\)
I wtedy...
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{4}}=\lim_{r \to 0} \frac{r^{3}cos^{3}\alpha}{r^{2}}=\lim_{r \to 0} rcos^{3}\alpha=0}\)
Czy taki zapis jest legalny, tzn. podstawienie \(\displaystyle{ y^{2}=t}\)? Wtedy \(\displaystyle{ sin\alpha \ge 0}\), zatem \(\displaystyle{ \alpha \in [0,\frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]}\)... i to już mi się średnio podoba.