granica ciągu, rekurencja

[exupery]

Witam,
Dany jest ciąg:
\(\displaystyle{ a_0=a_1=1, a_n=\sum_{i=1}^{n-1}a_i a_{n-i}}\) Oblicz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}}\)

Znam rozwiązanie powyższego problemu przy zastosowaniu funkcji tworzących i iloczynu Cauchy'ego szeregów, pytanie jest czy istnieje "ładniejsza" metoda

[jutrvy]

To jest bardzo ładna metoda Jeśli pytasz o jakąś prostrzą, taką od razu, to jeśli istnieje, to z mojego punktu widzenia jest nieskończenie sprytna

[exupery]

Dla speców od dyskretnej:) \(\displaystyle{ a_n}\) jest liczbą \(\displaystyle{ n}\)-wierzchołkowych ukorzenionych drzew binarnych. Czyli na dobrą sprawę jest to liczba Catalana i wynik mamy natychmiastowo:)

[jutrvy]

Ok, ale jak wyliczamy wzór jawny na liczby Catalana?... Używamy (surprise, surprise) funkcji tworzącej.

Ewentualnie można machnąć jakąś dyskretną interpretację tego wzoru.