asymptoty funkcji - obliczanie granic
-
- Użytkownik
- Posty: 375
- Rejestracja: 15 wrz 2011, o 20:05
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 122 razy
asymptoty funkcji - obliczanie granic
Wyznaczyć asymptoty funkcji:
a) \(\displaystyle{ f(x) = (x ^{2} - 8) \cdot e ^{-x}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} (x ^{2} - 8) \cdot e ^{-x}}\) = \(\displaystyle{ \infty \cdot e ^{ \infty } = \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} (x ^{2} - 8) \cdot e ^{-3}}\) = \(\displaystyle{ \infty \cdot 0 = 0}\)
Nie wiem jak wyliczyć tą asymptotę pionową/poziomą, bo ukośnych nie będzie prawda?
b) \(\displaystyle{ f(x) = x \cdot e ^{-x ^{2} }}\)
Tutaj zaczynam od ukośnej:
a = \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f'(x)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} e ^{-x ^{2} } \cdot \lim_{x\to\infty} (1-2x ^{2}) = e ^{- \infty } \cdot (- \infty )}\)
i tutaj nie wiem jak dalej dokończyć..
a) \(\displaystyle{ f(x) = (x ^{2} - 8) \cdot e ^{-x}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} (x ^{2} - 8) \cdot e ^{-x}}\) = \(\displaystyle{ \infty \cdot e ^{ \infty } = \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} (x ^{2} - 8) \cdot e ^{-3}}\) = \(\displaystyle{ \infty \cdot 0 = 0}\)
Nie wiem jak wyliczyć tą asymptotę pionową/poziomą, bo ukośnych nie będzie prawda?
b) \(\displaystyle{ f(x) = x \cdot e ^{-x ^{2} }}\)
Tutaj zaczynam od ukośnej:
a = \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f'(x)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} e ^{-x ^{2} } \cdot \lim_{x\to\infty} (1-2x ^{2}) = e ^{- \infty } \cdot (- \infty )}\)
i tutaj nie wiem jak dalej dokończyć..
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
asymptoty funkcji - obliczanie granic
\(\displaystyle{ \infty \cdot 0}\) to symbol nieoznaczony. Nie możesz od razu wiedzieć, że to \(\displaystyle{ 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 375
- Rejestracja: 15 wrz 2011, o 20:05
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 122 razy
asymptoty funkcji - obliczanie granic
Tak czy siak wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ = 2x \cdot e ^{-x} + x ^{2} - 8 \cdot e ^{-x} \cdot (-1) = e ^{-x} (2x-x ^{2} + 8) = 0 \cdot 8 = 0}\)
\(\displaystyle{ = 2x \cdot e ^{-x} + x ^{2} - 8 \cdot e ^{-x} \cdot (-1) = e ^{-x} (2x-x ^{2} + 8) = 0 \cdot 8 = 0}\)
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
asymptoty funkcji - obliczanie granic
Rozumiem, że to argument matematyczny?davidd pisze:Tak czy siak wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\)
Dziedzina jest bez "dziurek", tzn. jest określona na \(\displaystyle{ \RR}\), więc pionowych nie będzie a ukośne mogą być. W zasadzie jedna, lewostronna bo granica w \(\displaystyle{ - \infty}\) wychodzi \(\displaystyle{ \infty}\)davidd pisze: Nie wiem jak wyliczyć tą asymptotę pionową/poziomą, bo ukośnych nie będzie prawda?
-
- Użytkownik
- Posty: 375
- Rejestracja: 15 wrz 2011, o 20:05
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 122 razy
asymptoty funkcji - obliczanie granic
Moim argumentem jest działanie jakie wykonałem pod spodem, czy źle?
Czy to co do teraz mam w przykładzie a) jest dobrze?
Jak policzyć zatem asymptotę ukośną?
Czy to co do teraz mam w przykładzie a) jest dobrze?
Jak policzyć zatem asymptotę ukośną?
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
asymptoty funkcji - obliczanie granic
Wyniki dobre, ale zapis właściwie niedopuszczalny.
\(\displaystyle{ \infty \cdot 0 = 0}\) to jest BARDZO rażące i nieuprawnione. Po pierwsze w matematyce nieskończoność nie jest liczba. Jak już cos takiego zapisujesz to używaj np. kwadratwoych nawiastów.
\(\displaystyle{ ...= \left[ \infty \cdot 0\right]=...}\) <- i tu od razu NIE MOZNA wstawić zera. Bo na tym poziomie tego nie wiesz. Musisz skorzystać np. z Hospitala.
Nie same wyniki są ważne.
\(\displaystyle{ \infty \cdot 0 = 0}\) to jest BARDZO rażące i nieuprawnione. Po pierwsze w matematyce nieskończoność nie jest liczba. Jak już cos takiego zapisujesz to używaj np. kwadratwoych nawiastów.
\(\displaystyle{ ...= \left[ \infty \cdot 0\right]=...}\) <- i tu od razu NIE MOZNA wstawić zera. Bo na tym poziomie tego nie wiesz. Musisz skorzystać np. z Hospitala.
Nie same wyniki są ważne.
-
- Użytkownik
- Posty: 375
- Rejestracja: 15 wrz 2011, o 20:05
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 122 razy
asymptoty funkcji - obliczanie granic
Skorzystałem:
czy źle?
davidd pisze:
\(\displaystyle{ = 2x \cdot e ^{-x} + x ^{2} - 8 \cdot e ^{-x} \cdot (-1) = e ^{-x} (2x-x ^{2} + 8) = 0 \cdot 8 = 0}\)
czy źle?
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
asymptoty funkcji - obliczanie granic
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} (x ^{2} - 8) \cdot e ^{- x}= \left[ \infty \cdot 0\right]=\lim_{x\to \infty} \frac{x ^{2} - 8}{e^{x}} = \left[ \frac{ \infty }{ \infty } \right] = \left[ H\right] = \lim_{ x \to \infty } \frac{2x}{e^x} = \left[ H \right] = \lim_{ x \to \infty } \frac{2}{e^x} = 0}\)
Ostatnio zmieniony 28 mar 2014, o 22:24 przez Kacperdev, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 375
- Rejestracja: 15 wrz 2011, o 20:05
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 122 razy
asymptoty funkcji - obliczanie granic
hmm, a skąd wziął się ten ułamek \(\displaystyle{ \frac{2x}{e ^{x} }}\) ?
Wiadome jest mi, że w przypadku kiedy wychodzą symbole nieoznaczone, korzystamy z pochodnych...
Wiadome jest mi, że w przypadku kiedy wychodzą symbole nieoznaczone, korzystamy z pochodnych...
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
asymptoty funkcji - obliczanie granic
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} (x ^{2} - 8) \cdot e ^{- x}= \lim_{x\to \infty} \frac{x ^{2} - 8}{e^{x}}}\)
Teraz mamy symbol \(\displaystyle{ \left[ \frac{ \infty }{ \infty } \right]}\).... więc moge dwukrotnie skorzystać z Hospitala. Czyli oddzielnie pochodna licznika i oddzielnie pochodna mianownika.
Teraz mamy symbol \(\displaystyle{ \left[ \frac{ \infty }{ \infty } \right]}\).... więc moge dwukrotnie skorzystać z Hospitala. Czyli oddzielnie pochodna licznika i oddzielnie pochodna mianownika.
-
- Użytkownik
- Posty: 375
- Rejestracja: 15 wrz 2011, o 20:05
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 122 razy
asymptoty funkcji - obliczanie granic
Rozumiem, wziąłem pochodną z całego mnożenia, dlatego źle mi wyszło.
Czyli w tym podpunkcie będziemy mieć asymptotę poziomą \(\displaystyle{ y = 0}\) ?
W drugim przykładzie dobrze zacząłem? Też muszę zastosować Hospitala?
Czyli w tym podpunkcie będziemy mieć asymptotę poziomą \(\displaystyle{ y = 0}\) ?
W drugim przykładzie dobrze zacząłem? Też muszę zastosować Hospitala?
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
asymptoty funkcji - obliczanie granic
... prawostronną.davidd pisze: Czyli w tym podpunkcie będziemy mieć asymptotę poziomą \(\displaystyle{ y = 0}\) ?
Z lewej mogą się dziać cuda.
trzeba zbadać taką granicę:
\(\displaystyle{ a = \lim_{x \to - \infty } \frac{f(x)}{x}}\)
Jeżeli wyjdzie \(\displaystyle{ \infty \hbox{ lub } - \infty}\) wtedy nie bedzie istniała lewostronna ukośna i to zakończy badanie asymptot w tym podpunkcie.
-
- Użytkownik
- Posty: 375
- Rejestracja: 15 wrz 2011, o 20:05
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 122 razy
asymptoty funkcji - obliczanie granic
a czy mogę policzyć granicę pochodnej \(\displaystyle{ f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \rightarrow \infty}\) tak jak zacząłem to robić?
tzn.
\(\displaystyle{ a = \lim_{x\to\infty} f'(x)}\)
tzn.
\(\displaystyle{ a = \lim_{x\to\infty} f'(x)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 375
- Rejestracja: 15 wrz 2011, o 20:05
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 122 razy
asymptoty funkcji - obliczanie granic
a dlaczego dla \(\displaystyle{ x \rightarrow - \infty}\)
Odnośnie pytania, u mnie na uczelni wykładowca podał dla asymptot ukośnych:
\(\displaystyle{ a = \lim_{x\to\infty} f'(x)}\)
i
\(\displaystyle{ b = [f(x) - ax]}\)
Odnośnie pytania, u mnie na uczelni wykładowca podał dla asymptot ukośnych:
\(\displaystyle{ a = \lim_{x\to\infty} f'(x)}\)
i
\(\displaystyle{ b = [f(x) - ax]}\)