asymptoty funkcji - obliczanie granic

[davidd]

Wyznaczyć asymptoty funkcji:

a) \(\displaystyle{ f(x) = (x ^{2} - 8) \cdot e ^{-x}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} (x ^{2} - 8) \cdot e ^{-x}}\) = \(\displaystyle{ \infty \cdot e ^{ \infty } = \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} (x ^{2} - 8) \cdot e ^{-3}}\) = \(\displaystyle{ \infty \cdot 0 = 0}\)

Nie wiem jak wyliczyć tą asymptotę pionową/poziomą, bo ukośnych nie będzie prawda?


b) \(\displaystyle{ f(x) = x \cdot e ^{-x ^{2} }}\)

Tutaj zaczynam od ukośnej:

a = \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f'(x)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} e ^{-x ^{2} } \cdot \lim_{x\to\infty} (1-2x ^{2}) = e ^{- \infty } \cdot (- \infty )}\)

i tutaj nie wiem jak dalej dokończyć..

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ \infty \cdot 0}\) to symbol nieoznaczony. Nie możesz od razu wiedzieć, że to \(\displaystyle{ 0}\)

[davidd]

Tak czy siak wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\)

\(\displaystyle{ = 2x \cdot e ^{-x} + x ^{2} - 8 \cdot e ^{-x} \cdot (-1) = e ^{-x} (2x-x ^{2} + 8) = 0 \cdot 8 = 0}\)

[Kacperdev]

Tak czy siak wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\)

Rozumiem, że to argument matematyczny?

Nie wiem jak wyliczyć tą asymptotę pionową/poziomą, bo ukośnych nie będzie prawda?

Dziedzina jest bez "dziurek", tzn. jest określona na \(\displaystyle{ \RR}\), więc pionowych nie będzie a ukośne mogą być. W zasadzie jedna, lewostronna bo granica w \(\displaystyle{ - \infty}\) wychodzi \(\displaystyle{ \infty}\)

[davidd]

Moim argumentem jest działanie jakie wykonałem pod spodem, czy źle?

Czy to co do teraz mam w przykładzie a) jest dobrze?
Jak policzyć zatem asymptotę ukośną?

[Kacperdev]

Wyniki dobre, ale zapis właściwie niedopuszczalny.

\(\displaystyle{ \infty \cdot 0 = 0}\) to jest BARDZO rażące i nieuprawnione. Po pierwsze w matematyce nieskończoność nie jest liczba. Jak już cos takiego zapisujesz to używaj np. kwadratwoych nawiastów.

\(\displaystyle{ ...= \left[ \infty \cdot 0\right]=...}\) <- i tu od razu NIE MOZNA wstawić zera. Bo na tym poziomie tego nie wiesz. Musisz skorzystać np. z Hospitala.

Nie same wyniki są ważne.

[davidd]

Skorzystałem:

\(\displaystyle{ = 2x \cdot e ^{-x} + x ^{2} - 8 \cdot e ^{-x} \cdot (-1) = e ^{-x} (2x-x ^{2} + 8) = 0 \cdot 8 = 0}\)

czy źle?

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} (x ^{2} - 8) \cdot e ^{- x}= \left[ \infty \cdot 0\right]=\lim_{x\to \infty} \frac{x ^{2} - 8}{e^{x}} = \left[ \frac{ \infty }{ \infty } \right] = \left[ H\right] = \lim_{ x \to \infty } \frac{2x}{e^x} = \left[ H \right] = \lim_{ x \to \infty } \frac{2}{e^x} = 0}\)

[davidd]

hmm, a skąd wziął się ten ułamek \(\displaystyle{ \frac{2x}{e ^{x} }}\) ?

Wiadome jest mi, że w przypadku kiedy wychodzą symbole nieoznaczone, korzystamy z pochodnych...

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} (x ^{2} - 8) \cdot e ^{- x}= \lim_{x\to \infty} \frac{x ^{2} - 8}{e^{x}}}\)

Teraz mamy symbol \(\displaystyle{ \left[ \frac{ \infty }{ \infty } \right]}\).... więc moge dwukrotnie skorzystać z Hospitala. Czyli oddzielnie pochodna licznika i oddzielnie pochodna mianownika.

[davidd]

Rozumiem, wziąłem pochodną z całego mnożenia, dlatego źle mi wyszło.

Czyli w tym podpunkcie będziemy mieć asymptotę poziomą \(\displaystyle{ y = 0}\) ?

W drugim przykładzie dobrze zacząłem? Też muszę zastosować Hospitala?

[Kacperdev]

Czyli w tym podpunkcie będziemy mieć asymptotę poziomą \(\displaystyle{ y = 0}\) ?

... prawostronną.

Z lewej mogą się dziać cuda.

trzeba zbadać taką granicę:

\(\displaystyle{ a = \lim_{x \to - \infty } \frac{f(x)}{x}}\)

Jeżeli wyjdzie \(\displaystyle{ \infty \hbox{ lub } - \infty}\) wtedy nie bedzie istniała lewostronna ukośna i to zakończy badanie asymptot w tym podpunkcie.

[davidd]

a czy mogę policzyć granicę pochodnej \(\displaystyle{ f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \rightarrow \infty}\) tak jak zacząłem to robić?

tzn.
\(\displaystyle{ a = \lim_{x\to\infty} f'(x)}\)

[Kacperdev]

Skąd ten wzór?
Policz tak jak Ci podałem. Szybko pójdzie.

[davidd]

a dlaczego dla \(\displaystyle{ x \rightarrow - \infty}\)

Odnośnie pytania, u mnie na uczelni wykładowca podał dla asymptot ukośnych:
\(\displaystyle{ a = \lim_{x\to\infty} f'(x)}\)

i

\(\displaystyle{ b = [f(x) - ax]}\)