\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1 } \sqrt{ x^{2}+3 }=2}\)
Biorę dowolny \(\displaystyle{ \epsilon}\) i szukam dla jakich x-ów spełnione jest równanie \(\displaystyle{ \left| f(x)-g\right|<\epsilon}\) ...
dochodzę do następującej nierówności:
\(\displaystyle{ |(x-1)|<\epsilon \cdot \left| \frac{ \sqrt{x^2+3}+2 }{x+1} \right|}\)
Jak uporać się z tym ułamkiem ?
Wykaż granicę z def. Cauchy'ego
Wykaż granicę z def. Cauchy'ego
Wyrażenie po prawej stronie w module można zgrubnie oszacować z dołu. \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+3}+2\ge2}\) oraz \(\displaystyle{ 0<x+1\le3}\) dla \(\displaystyle{ x}\) różniącego się od \(\displaystyle{ 1}\) o co najwyżej \(\displaystyle{ \delta=1}\). W takim razie wystarczy nam nierówność
\(\displaystyle{ |x-1|\le \varepsilon \cdot \frac23.}\)
\(\displaystyle{ |x-1|\le \varepsilon \cdot \frac23.}\)