Oblicz granicę

[monn933]

\(\displaystyle{ l _{n} = sin \sqrt{n+1} -sin \sqrt{n}}\)

[Kanodelo]

Wykorzystaj wzór na różnice sinusów

[monn933]

\(\displaystyle{ 2 \cdot sin \frac{ \sqrt{n+1}- \sqrt{n} }{2} \cdot cos \frac{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} }{2} = 2 \cdot sin \frac{n+1-n}{2 \sqrt{n+1} -2 \sqrt{n} } \cdot cos \frac{n+1-n}{2 \sqrt{n+1} -2 \sqrt{n}}}\) ?

[Kanodelo]

Jeżeli potem chcesz to pomnożyć przez sprzężenie to powinnaś mieć \(\displaystyle{ 2\sin \frac{n+1-n}{2\sqrt{n+1}+2\sqrt{n}}\cos \frac{n+1-n}{2\sqrt{n+1}+2\sqrt{n}}}\)
ale w zasadzie nie musisz zamieniać tego przy cosinusie, bo wiesz że \(\displaystyle{ \cos \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2}}\) jest ograniczony, a \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{2\sqrt{n+1}+2\sqrt{n}}}\) dąży do 0