Zbadać czy istnieją granice

[kitek7878]

Witam,

jak bada się np. następujące przykłady na istnienie granicy?:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{1-x} }{x}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac { \sqrt{1-x} + \sqrt{1+x} }{x}}\)

Da się to jakoś rachunkowo "ujawnić"? Bo na wykresie widzę od razu ale jak to samemu odgadnąć?

[pyzol]

A jak byś te \(\displaystyle{ 0}\) podstawił to co Ci wyjdzie?

[Zlodiej]

Należy zbadać granice lewo i prawostronne.

W pierwszym przypadku granica prawostronna to \(\displaystyle{ + \infty}\), natomiast lewostronna to \(\displaystyle{ - \infty}\). Zatem granica nie istnieje, bo granica lewostronna i prawostronna nie są sobie równe.

Drugi przypadek analogicznie.

[kitek7878]

No jak podstawię 0 to funkcja jest nieokreślona chyba w tym punkcie?

No tak, badamy granicę prawo- i lewostronną ale właśnie jak?
Rachunkowo czy "kombinując" co gdzie rośnie a gdzie maleje?

[pyzol]

Schemat leci tak:
\(\displaystyle{ \left[\frac{1}{0^{+}} \right]=\infty\\
\left[\frac{1}{0^{-}} \right]=-\infty}\)
Może to Tobie wystarczy. Możesz to wykorzystać przy badaniu innych granic. Ale to tak w skrócie i brzydko.

[Zlodiej]

to trochę intuicyjne. Ogólnie jak dzielisz przez 0 to dążysz do nieskończoności... Przy czym jak dzielisz przez \(\displaystyle{ 0^+}\) to dzielisz przez liczby dodatnie (bo po prawej stronie 0, a zatem dążysz do \(\displaystyle{ + \infty}\). Analogicznie jest dla \(\displaystyle{ 0^-}\)

[kitek7878]

Yhm, teraz już wiem
Dzięki Panowie

[bartek118]

Można inaczej - wystarczy wskazać dwa różne ciągi, dla których te granice są różne.