Granica funkcji wg. Heinego i Cauchy'ego

[patricia__88]

Niech \(\displaystyle{ (X,d_1), \ (X,d_2)}\) będą przestrzeniami metrycznymi. Niech \(\displaystyle{ A \neq \emptyset , \ A \subset X, \ f:X\rightarrow Y}\). Niech \(\displaystyle{ x_0\in X}\) będzie punktem skupienia zbioru \(\displaystyle{ A}\). Mówimy, że \(\displaystyle{ g\in Y}\) jest GRANICĄ FUNKCJI \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\), jeżeli:
definicja Heinego: \(\displaystyle{ \forall \varepsilon >0 \ \exists \delta >0 \ \forall \in A \wedge x \neq x_0 \ [d_1(x_0,x)<\delta \Rightarrow d_2(f(x),g)< \varepsilon ]}\)
definicja Cauchy'ego \(\displaystyle{ \forall (x_n) \subset A \ \forall n\in\mathbb{N} \wedge x_0\in A \wedge x_n \neq x_0 \ [x_n \rightarrow x_0 \Rightarrow f(x_n)\rightarrow g]}\)

Czy ktoś mógłby przedstawić jakiś prosty przykład funkcji i za pomocą powyższych dwóch definicji wskazać jego granicę?
A także, czy ta definicja Cauchy'ego działa również dla granic prawo i lewostronnych, czy trzeba ją jakoś zmodyfikować?

[miodzio1988]

Skorzystaj z wyszukiwarki u nas na forum. problem to?

[patricia__88]

Ciekawa jestem czy Ty potrafisz odpowiedzieć choćby na jedno zamieszczone na tym forum pytanie. Chyba nie, bo każdego wysyłasz do google lub innych wyszukiwarek.
A jeśli potrafisz, to odpowiedz na pytanie czy ta definicja Cauchy'ego działa również dla granic prawo i lewostronnych, czy trzeba ją jakoś zmodyfikować? Jeśli tak, to jak? Chyba że tego nie wiesz to napisz od razu,a nie każ szukać informacji gdzie indziej.

[brzoskwinka1]

definicja Heinego: \(\displaystyle{ \forall \varepsilon >0 \ \exists \delta >0 \ \forall \in A \wedge x \neq x_0 \ [d_1(x_0,x)<\delta \Rightarrow d_2(f(x),g)< \varepsilon ]}\)
definicja Cauchy'ego \(\displaystyle{ \forall (x_n) \subset A \ \forall n\in\mathbb{N} \wedge x_0\in A \wedge x_n \neq x_0 \ [x_n \rightarrow x_0 \Rightarrow f(x_n)\rightarrow g]}\)

Nie czasem odwrotnie?

czy ta definicja Cauchy'ego działa również dla granic prawo i lewostronnych, czy trzeba ją jakoś zmodyfikować?

Ogólnie o granicach prawo i lewo stronnych można mówić tylko wtedy, gdy przestrzeń metryczna ma dodatkowo strukturę porządkową.

[Ein]

1. Pomyliłaś definicję Cauchy'ego z Heinego. Na odwrót powinno być.
2. Granice lewostronne/prawostronne mają sens jedynie, gdy mówimy o porządkach liniowych -- Tobie za pewne chodzi o prostą rzeczywistą, a nie o dowolne dwie przestrzenie metryczne.
3. Dla prostej rzeczywistej oczywiście można zdefiniować granice jednostronne w sensie Cauchy'ego. Definicja granicy prawostronnej funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\):

\(\displaystyle{ \forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x>x_0:\ x-x_0<\delta\Rightarrow|f(x)-g|<\varepsilon}\)

Analogicznie definiujemy granicę lewostronną:

\(\displaystyle{ \forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x<x_0:\ x_0-x<\delta\Rightarrow|f(x)-g|<\varepsilon}\)

[patricia__88]

No tak faktycznie pomyliłam, ma być na odwrót:)
Czyli dla dowolnych dwóch metryk nie można zdefiniować granicy prawo i lewostronnej?

[Ein]

No nie bardzo. Musisz mieć porządek w przestrzeni, żeby mówić, że coś jest na lewo, a coś na prawo. Inaczej się nie da. Spójrz na płaszczyznę euklidesową -- tam nie ma porządku zgodnego z topologią, więc ciężko mówić o granicach jednostronnych.

[patricia__88]

A znalazłam coś takiego:
\(\displaystyle{ (X,d_1), \ (Y,d_2)}\)-przestrzenie metryczne, \(\displaystyle{ A \neq \emptyset , \ A \subset X, \ f:A \rightarrow Y, \ x_0 - punkt \ skupienia \ zb. \ A}\)
\(\displaystyle{ \forall n>0 \ \exists \delta >0 \ \forall x\in A \wedge x \neq _0 \ [d_1(x,x_0)<\delta \Rightarrow f(x)>M]}\)
Jakiej granicy to jest definicja? Chyba że coś pokręciłam

[Ein]

Ta definicja nie jest poprawna -- co to jest \(\displaystyle{ M}\)? \(\displaystyle{ f}\) działa w \(\displaystyle{ Y}\) -- czy na \(\displaystyle{ Y}\) jest porządek, żeby można mówić o relacji \(\displaystyle{ f(x)>M}\)?

[patricia__88]

No właśnie nie wiem, taką miałam definicję w zeszycie podaną, ale chyba coś źle przepisałam