Matematyka.pl

Witam. Mam problem z nastepującym zadaniem:

Znajdź o ile istnieje taką liczbę rzeczywistą a, aby funkcja f była dana wzorem

\(\displaystyle{ f_n(x)={{\frac{\sqrt{9+x^2+y^2}-3}} {\sqrt{x^2+y^2}}}}\) dla \(\displaystyle{ (x,y) \neq 0}\)
0 dla (x,y)= 0, aby była ciągłą w zb R?

A gdzie jest to a, które mamy znaleźc?

Proszę poprawić treść zadania.

Zadanie jeszcze raz poprawione


\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{\sqrt{9+x^2+y^2}-3} {\sqrt{x^2+y^2}} dla (x,y) \neq (0,0)\\a dla (x,y)= (0,0) \end{cases}}\)

Mam nadzieje ze to wystarczy bo lepiej nie umiem Prosze o pomoc

Żeby funkcja była ciągła w pkt \(\displaystyle{ (0,0)}\) musi zachodzić \(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to(0,0) }f(x,y)=f(0,0)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{\sqrt{9+x^2+y^2}-3} {\sqrt{x^2+y^2}} =
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{(\sqrt{9+x^2+y^2}-3)(\sqrt{9+x^2+y^2}+3)}{(\sqrt{9+x^2+y^2}+3)\sqrt{x^2+y^2}}= \\
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2+y^2}{(\sqrt{9+x^2+y^2}+3)\sqrt{x^2+y^2}} =
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{9+x^2+y^2}+3}= \frac{0}{6}=0}\)

zatem \(\displaystyle{ a=0}\)