bardzo trudna granica

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de'l Hospitala.
kriegor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 330
Rejestracja: 21 sty 2012, o 20:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ut
Podziękował: 182 razy
Pomógł: 1 raz

bardzo trudna granica

Post autor: kriegor » 11 mar 2012, o 12:59

oblicz: \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(1-\cos x)}{x^4}}\)

nie bede robil del'hospitalem bo do wieczora nie skoncze i w dodatku sie pomyle

jakies rozwiniecie w szereg cosinusa tutaj cos daje ?? nie wiem za bardzo jak to wykorzystac

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

bardzo trudna granica

Post autor: Justka » 11 mar 2012, o 13:06

Myślę, że przyda się zależność \(\displaystyle{ \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1-\cos x }{2}}\).

kriegor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 330
Rejestracja: 21 sty 2012, o 20:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ut
Podziękował: 182 razy
Pomógł: 1 raz

bardzo trudna granica

Post autor: kriegor » 11 mar 2012, o 13:09

ale to gdzie by mialo sie przydac?? w del'hospitalu ??

Awatar użytkownika
MichalPWr
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1625
Rejestracja: 29 wrz 2010, o 15:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leszno
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 387 razy

bardzo trudna granica

Post autor: MichalPWr » 11 mar 2012, o 13:18

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(1-\cos x)}{x^4}=H=\lim_{x \to 0}\frac{\sin (1-\cos x) \sin x}{4x^{3}}\lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin (1-\cos x)}{1-\cos x} \cdot \left( 1-\cos x\right) \frac{\sin x}{x}x}{4x^{3}}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{4x ^{2} }= \frac{1}{8}}\)

Pamiętając, że:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x ^{2} }= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1}\)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1442
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 369 razy

bardzo trudna granica

Post autor: bosa_Nike » 11 mar 2012, o 13:23

Przy korzystaniu z zależności, którą podała Justka, nie potrzebujemy używać reguły de l'Hospitala.

kriegor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 330
Rejestracja: 21 sty 2012, o 20:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ut
Podziękował: 182 razy
Pomógł: 1 raz

bardzo trudna granica

Post autor: kriegor » 11 mar 2012, o 13:32

chyba jednak najprosciej: \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(1-\cos x)}{x^4}=\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos (1-\cos x)}{(1-\cos x)^2}\cdot \left(\frac{(1-\cos x)}{x^2}\right)^2}\) korzystajac z \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12}\)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1442
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 369 razy

bardzo trudna granica

Post autor: bosa_Nike » 11 mar 2012, o 13:41

kriegor pisze:\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12}\)
Spoko, ale wyrażenie pod granicą to właśnie przekształcone \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\left(\frac{x}{2}\right)^2}}\)

kriegor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 330
Rejestracja: 21 sty 2012, o 20:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ut
Podziękował: 182 razy
Pomógł: 1 raz

bardzo trudna granica

Post autor: kriegor » 11 mar 2012, o 13:51

bosa_Nike racja, dzieki wielkie za zwrocenie uwagi!

ODPOWIEDZ