Oblicz granicę z D'Hospitala.

[ugabuga333]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+} } \left( \frac{1}{x} \right) ^{\sin x}}\)

[cosinus90]

Skorzystaj ze wzoru :

\(\displaystyle{ \left( f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \cdot \ln (f(x))}}\)

[ugabuga333]

No to muszę najpierw obliczyć :

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+} } \frac{\ln \frac{1}{x} }{ \frac{1}{\sin x} }}\)

Jak to przekształcić, żeby można było skorzystać z D'Hospitala ?

[cosinus90]

Przecież już teraz to możesz zrobić.

[ugabuga333]

a, no tak bo teraz mam \(\displaystyle{ \frac{ \infty }{ \infty }}\) , tak ?

[cosinus90]

Tak.

[ugabuga333]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+} } \frac{\ln \frac{1}{x} }{ \frac{1}{\sin x} } = \lim_{ x\to 0^{+} } \frac{x}{- \cos x} = 0}\) \(\displaystyle{ e^{0} = 1}\) tak ?

[cosinus90]

Hm, wynik dobry, ale szczerze mówiąc nie wiem skąd Ci wychodzi taka postać po różniczkowaniu licznika i mianownika.

[ugabuga333]

hmmm ... to mógł byś to napisać po swojemu ? bo może coś pokićkałem, a wynik wyszedł dobrze niechcący

[cosinus90]

Nie - Ty napisz, ja sprawdzę.

[ugabuga333]

no ale to w sumie wszystko xD ... zrobiłem to pierwsze przejście z d'hospitala ... a, potem mam \(\displaystyle{ x}\) w liczniku, a więc \(\displaystyle{ 0}\) przez \(\displaystyle{ -1}\) ,a więc 0 ?

[cosinus90]

Pamiętaj, że zarówno w liczniku i w mianowniku należy policzyć pochodną funkcji złożonej.

[ugabuga333]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0^{+} } \frac{\ln \frac{1}{x} }{ \frac{1}{\sin x} } = \lim_{ x\to 0^{+} } \frac{- \frac{1}{x} }{- \cos x}}\) teraz dobrze ?

[cosinus90]

Licznik dobrze, mianownik źle. Pamiętaj, że to funkcja złożona, lub posłuż się wzorem na pochodną ilorazu.

[mizera03]

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin{x}}=\sin{x}^{-1}}\)
a więc
\(\displaystyle{ ((\sin{x})^{-1})'=-1 \cdot \sin{x}^{-2} \cdot \cos{x} = -\frac{ \cos{x}}{\sin^{2}{x}}}\)