Dwie granice do policzenia.

[Tofik40]

Witam. Mam problem z dwiema granicami. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } x^{\tg x}}\) i \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \tg x^{x}}\) . Na pewno trzeba to zamienić na wykładnik liczby \(\displaystyle{ e}\). Ale później? de l'Hospital ?

[pawex9]

1
\(\displaystyle{ x ^{tgx}=x ^{ \frac{sinx}{cosx} }=(x ^{sinx}) ^{ \frac{1}{cosx} }}\)
wiec
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } x^{\tg x}=\lim_{ x\to 0 } x^{(x ^{sinx}) ^{ \frac{1}{cosx} }}=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{cosx} \rightarrow 1}\)
\(\displaystyle{ sinx \rightarrow 0}\)
wiec
\(\displaystyle{ (x ^{0}) ^{ \frac{1}{1}}=1}\)


2
\(\displaystyle{ x ^{x} \rightarrow 1}\)
wiec
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0} tg(x ^{x})=tg(1)}\)

[AdamL]

Ciekawi mnie jedno
\(\displaystyle{ (x ^{0}) ^{ \frac{1}{1}}=1}\)
jak zes to w ten sposob zrobil, przeciez x dazy do 0 zarowno w wykladniku jak i podstawie i wowczas mamy tu symbol nieoznaczony prawda ?

Wynik dobry, tylko czy rozumowanie ok ?

bo ja bym robil tak:
\(\displaystyle{ e ^{tgx\cdot lnx}}\)
\(\displaystyle{ tgx*lnx = tgx \cdot ln(1+x-1) =tgx \cdot (x-1)->0}\)
\(\displaystyle{ e ^{tgx \cdot lnx} -> e ^{0} = 1}\)
korzystajac z faktu ze dla x->0+
\(\displaystyle{ ln(1+x) = x}\)

Zastanawia mnie co zrobic dla lewostronnego sasiedztwa 0, gdyz wydaje mi sie ze wowczas zadna f wykladnicza nie ma sensu, aczkolwiek wolalbym, zeby jakis profesjonalista sie wypowiedzial.

Pozdrawiam