Granica funkcji. Funkcja z pierwiastkiem.

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 3 lut 2012, o 23:21

Witam. Muszę policzyć granicę takiej funkcji:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to0 } \frac{ \sqrt{x+1} -1}{x}}\)

Jak się za to mądrze zabrać? Proszę o wskazówki i pozdrawiam.

MadJack · Post autor: **MadJack** » 3 lut 2012, o 23:30

Pomnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}+1}\).

PS Przez avatar myślałem, że to użytkownik miki troluje ^^

JankoS · Post autor: **JankoS** » 3 lut 2012, o 23:36

Pomnożyłbym ułamek przez 1 w postaci \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x+1} +1}{\sqrt{x+1} +1}}\).

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 3 lut 2012, o 23:37

Czy będzie tak (?):

\(\displaystyle{ \lim_{x \to0 } \frac{ \sqrt{x+1} -1}{x} = \lim_{x \to0 } \frac{ x+1-1}{x \sqrt{x+1} + x } = \lim_{x \to0 } \frac{ x}{x \sqrt{x+1} + x}}\)

Tylko w dalszym ciągu mam symbol nieoznaczony.

MadJack · Post autor: **MadJack** » 3 lut 2012, o 23:52

Zostaw x w mianowniku przed nawiasem i skróć z licznikiem. Granica wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 3 lut 2012, o 23:59

A fakt, dzięki.
Mam też taki przykład:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \frac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3}}\)

Wiem, że muszę to porozbijać na czynniki, tylko nie chce mi się tego dzielić Bezoutem. Jest jakiś szybszy sposób?

MadJack · Post autor: **MadJack** » 4 lut 2012, o 00:05

\(\displaystyle{ x^4-3x+2=x^4-x-2x+2=x(x^3-1)-2(x-1)...}\), rozpisujesz \(\displaystyle{ x^3-1}\) ze wzoru na różnicę trzecich potęg, wyciągasz \(\displaystyle{ x-1}\) przed nawias. Mianownik podobnie.

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 4 lut 2012, o 00:10

No rozumiem. Nauczyciel mi mówił coś o pochodnej. Można to tu wykorzystać?-- 4 lut 2012, o 00:24 --A jak mam takie coś (?):

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ \sqrt{x^2+4}-2 }{ \sqrt{x^2+9} -3}}\)

Mnożę górę i dół przez \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+9}+3}\) i wychodzi tasiemiec gdzie dalej mam po wstawieniu zera symbol nieoznaczony, a wyrzucić iksa przed nawias nie mam jak. Co tu zrobić? Po wymnożeniu mam tak:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{(x^2+4)(x^2+9)}+3 \sqrt{x^2+4}-2 \sqrt{x^2+9}-6}{x^2}}\)

pawellogrd · Post autor: **pawellogrd** » 4 lut 2012, o 00:25

Można - zainteresuj się regułą de l'Hospitala

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 4 lut 2012, o 00:28

To mam policzyć pochodne?

pawellogrd · Post autor: **pawellogrd** » 4 lut 2012, o 00:30

Mysle, ze tu warto by bylo

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 4 lut 2012, o 10:37

Czy mógłbyś pokazać jak się liczy pochodną takiej funkcji, gdzie mam wyrażenie pod pierwiastkiem? Wiem, że na \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) jest \(\displaystyle{ ( \sqrt{x} )' = \frac{1}{2 \sqrt{x} }}\) tylko jak to wygląda, kiedy nie mam gołego iksa pod pierwiastkiem?

MadJack · Post autor: **MadJack** » 4 lut 2012, o 13:14

\(\displaystyle{ \frac{f'(x)}{g'(x)}= \frac{1}{2 \sqrt{x} }}\), bo \(\displaystyle{ x'=1}\). Przy przejściu do granicy również wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 4 lut 2012, o 13:28

Będzie tak (?): \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ \sqrt{x^2+4}-2 }{ \sqrt{x^2+9} -3} = \lim_{ x\to 0 } \frac{ \frac{1}{2 \sqrt{x^2+4}}}{ \frac{1}{2 \sqrt{x^2+9}}}=\lim_{ x\to 0 } \frac{ \sqrt{x^2+9} }{ \sqrt{x^2+4}} = \frac{3}{2}}\)

pawellogrd · Post autor: **pawellogrd** » 4 lut 2012, o 16:34

To tak jakby co:

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{x^2+4}\right)' = \frac{1}{2 \sqrt{x^2+4}} \cdot \left( x^2+4 \right) ' = \frac{2x}{2 \sqrt{x^2+4}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}\)

Tutaj Ci się te \(\displaystyle{ 2x}\) akurat uprościły (bo w mianowniku też by wystąpiło). I wyszło OK.